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1、学案学案3 3 平面向量的数量积平面向量的数量积 平面向量的 数量积积(1)理解平面向量数量积积的含义义及其物 理意义义. (2)了解平面向量的数量积积与向量投影的关系.(3)掌握数量积积的坐标标表达式,会进进行平面向量数量积积的运算. (4)能运用数量积积表示两个向量的夹夹角, 会用数量积积判断两个平面向量的垂直 关系.这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,则 叫做a与b的数量积(或内积),记作 .规定:零向量与任
2、一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ,两个非零向量a与b平行的充要条件是 .|a|b|cos ab=|a|b|cos 0 ab=0 ab=|a|b| 2.平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)ea=ae= ;(2)非零向量a,b,ab ;(3)当a与b同向时,ab= ;当a与b反向时,ab= ,aa= ,|a|= ;|b|cos |a|cos ab=0 |a|b| -|a|b|a2(4)cos= ;(5)|ab| |a|b| .4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab= (交换律);(2)(a)
3、b= = (为实数);(3)(a+b)c= . ba ab ab ac+bc 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab= ,由此得到:若a=(x,y),则|a|2= 或|a|= .(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|= .(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 x2+y2 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|a-b|= .【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.考点考点1 1 数量积的计算数量积的计算【解
4、析】|a-b|=【评析评析】求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为,0,180,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标 a=(x1,y1), b= (x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且x - , .(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.【解析解析】 (1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x,a+b=(cos x +cos ,sin x sin ),x ,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)
5、由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx- )2- .x , cosx1,当cosx= 时,f(x)取得最小值为- ;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是 .【分析分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.考点考点2 2 利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题【解析解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.【评析评析】 垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(00得2+-60,2或0),2=k=-3k, 故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在.当2或,应为应为120,120,而不是而不是60.60.名师伴你行
