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1、返回5 二次型及其标准形三、用配方法化二次型为标准形二、二次型在可逆变换下的变化情况一、二次型的矩阵表示返回例. 有心二次曲线方程可取适当的转轴变换:方程可化成标准方程一、二次型的矩阵表示 返回特点: (1). 变换阵(2). 可逆变换不改变常数(项).实质:经变换二次齐次多项式, 有交叉项.二次齐次多项 式, 无交叉项.返回定义11. 二次型是指 二次齐次函数(二次齐次多项式).返回f 可写成: 即返回记返回註: (2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.例1.例2.写成矩阵表示 .3 7 35-1 55 -15返回例3.写成矩阵表示.
2、1 -1 0 122-1 01 -12 20 -11-1AX返回(1)A为n 阶实对称阵.可逆变换:(2)二、二次型在可逆变换下的变化情况返回即P|P|0X = PY. (3)要把 f 化成标准形:返回若把标准形写成矩阵, 则00把(3)代入(1), 有返回证明: 若A为对称阵,註: 性质表明, 经可逆变换 X =PY 后, 二 次型 f 的矩阵变为其秩不变 .性质: 任给可逆阵P,令若A为对 称阵,则B为对称阵,返回定理十:任给二次型总有正交 变换X = PY , 使 f 化为标准形证明: 据定理九, 总有正交阵P, 使00返回代入00证毕 .返回例4. 化二次型为标准形.解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.f 的矩阵为:返回A的特征多项式:返回例5.试确定一个正交变换X=PY,将二次型化为标准形.解:f 的矩阵为:返回可解得A的特征值为 :对应的特征向量为:返回令则X =PY 为所求正交变换. 它将二次型 f 化为注意:返回例6. 化二次型成标准形, 并求所用的变换矩阵.解:三、用配方法化二次型为标准形返回所用的变换阵为 :返回例7.化二次型成标准形, 并求所用的变换矩阵.解: 令.代入, 得返回令由于.返回,.变换阵 所用的变换阵为:所用的线性变换为:
