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1、 基础知识 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式axb的解集为： 当a0时，解集为 当a0，x1，x2是方程ax2bxc0的 两实根，且x10ax2bx c000x|xx2x|xx1或xx2R类型解集ax2bxc0ax2bx c0000 ； f(x)g(x)0 四、简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)0，用数轴标根法(或 称区间法、穿根法)求解，其步骤是： (1)将f(x)的最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二 次不可分因式之积； (3)将每一个一次因式的根标在数轴上， 从右上方依次通过每一点画曲线； (4)根据曲线显现出f(x)的值的符号变
2、化规 律，写出不等式的解集； (5) 次根依次穿过， 次根穿而不过 奇偶 易错知识 一、等价变形易出错 1不等式2x(x2)3(x2)的解集为 _； 二、不等式两边平方而致误 3不等式|2x|x1的解集为 _ 三、忽视“”中不等与等双重性而致误 答案：4，)1 四、数轴标根法不分奇、偶根出错 5不等式x2(x1)0的解为 _；x3(x1)0的解为 _ 答案：x|x1且x0 x|x0或x 1 回归教材 1下列结论正确的是() A不等式x24的解集为x|x2 B不等式x290的解集为x|x3 D设x1，x2为ax2bxc0的两个实根 ，且x1x2，则不等式ax2bxc0的 解集为x|x1xx2 答
3、案：C 2(2009浙江金华一模)与不等式 0同解的不等式是 ( ) 解析：由lg(x2)0，得lg(x2)lg1， 答案：B 3(教材P334题改编)若0a1，则不 等式(ax)(x 0的解集是( ) 答案：A 4不等式|x1|(2x1)0的解集为 ( ) 解析：|x1|0， |x1|(2x1)02x10或x1， 原不等式的解集为x|x1或x 答案：A 5不等式(x22x3)(x24x4)0的 解集是 ( ) Ax|x1或x3 Bx|1x3 Cx|x3或x1 Dx|1x2或2x3 解析：原不等式可化为(x3)(x1)(x 2)20.由穿根法可得，1x3且x2. 答案：D 分析 二次不等式，与
4、相应的一元二次 方程的根的情况密切相关，把两者结合起 来，就可以写出一元二次不等式的解比 如：ax2bxc0，a0的根为x1、x2 ，且x1x2，那么，不等式ax2bxc 0(a0)的解集为x|xx1或xx2；不等 式ax2bxc0(a0)的解集为x|x1x x2 总结评述 解一元二次不等式的一般步 骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式 的符号；(3)若0，则求出该不等式对 应的二次方程的根，若0，则对应的 二次方程无根；(4)结合二次函数的图象 得出不等式的解集特别地，若一元二次 不等式的左边的二次三项式能分解因式， 则可立即写出不等式的解集 (1)2x23x20的解集是_； (2)6
5、x23x20的解集是_ 解析：(1)因为0，方程2x23x2 0的解是x1 ，x22，画出二次函数y 2x23x2的图象，如图所示，可知 不等式2x23x20的解集是x|x 或x2 (2)原不等式可化为3x26x20，因为 0，对应方程3x26x20的解是x1 1 ，x21 ，画出相应二次函 数y3x26x2的图象，如图所示，可 知原不等式的解集是x|1 【例2】 解不等式： (1)2x3x215x0； (2)(x4)(x5)2(2x)30(或 f(x)0. 把方程x(2x5)(x3)0的三个根x10 ，x2 ，x33顺次标上数轴然后 从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其 解集如下图所示的阴影
6、部分 (2)原不等式等价于(x4)(x5)2(x 2)30 原不等式解集为x|x2 总结评述 在运用根轴法时，对于“重 根”情况的处理方法是“奇数次方依次穿 过，偶数次方穿而不过” 解不等式(2x23x1)(3x27x2)0. 解析：方法一：原不等式(2x23x 1)(3x27x2)0 方法二：原不等式等价于(x1)(2x 1)(3x1)(x2)0 用数轴标根法得解集为： 命题意图 考查较复杂分式不等式的解 法 分析 应化成分式不等式的标准形式， 即左边为分式，右边为0的形式再等价 转化为整式不等式求解 如图所示，可得原不等式的解集为 总结评述 (1)解分式不等式一定要等价 变形为标准形式，就
7、是右边为零，左边为 分式再等价转化为不等式组或高次不等 式求解 (2)分式不等式含等号，等价转化整式不 等式时，其分母不为零最易丢掉这一点 一定要切记 (3)当分式不等式分母正负不确定时，不 可通过不等式两边同乘以分母的方法转化 为整式不等式 (2009石家庄)关于x的不等式 0的解集为1,2)3，)，则ab _. 解析：由解集是半开半闭区间知， (xa)(xb)0的两根为x1或x3 ，故ab132，所以ab 2. 答案：2 (2009武汉调 研考试7)不等式 的解集为 ( ) 解析：显然x0，排除C，分别令x1、 可以排除B、A，故选D. 答案：D 【例4】 解关于x的不等式 分析 将分式不
8、等式转化为整式不等式 ，需用“数轴标根法”对ax1中的a要分 类讨论，在求解的过程中容易忽略a0 的情况，以及 与1和2的大小比较 解答 当a0时，原不等式等价于x2 x20时，原不等式化为 (x2x 2)0， 即 (x1)(x2)0. 则当a 时，x1，且x2，不等式解 集为x|x1且x2； 当0a 1x2，不等式解 集为x|x 或1x2； 当a0时，原不等式等价于 (x 1)(x2)0. 则当a1时，不等式解集为x|x2，且 x1 当1a0时，不等式解集为x|x 或 1x2 当a1时，不等式解集为x|x1或 x2 思路点拨：含参数不等式的求解，要视参 数为常数，按照通常求解不等式的过程进
9、行求解，直到会出现几种可能时，再分类 讨论解含参数不等式时应尽可能向同类 型不含参数不等式接近解关于x的不等式： 1(a1) 解含参数的不等式时，一般都需要对参 数进行分类讨论 ，但对分类标 准的把握 是一个难点又是一个重点，当参数在不 等式的某些特殊的位置时，其分类标 准 有一定规律，如：(1)一元一次不等式的 一次项系数为关于参数a的代数式f(a)时 ，需对f(a) 0，f(a)0，f(a)0，进行 讨论 ；(2)一元二次不等式二次项系数为 关于参数a的代数式f(a)时，需对f(a)0 与f(a)0进行讨论 ，而当f(a)0时，又需 对判别式，分0，0，0来讨 论，在写出不等式的解集时有时需要通 过比较二次函数对应 方程的根来分类， 最后确定出分类标 准；(3)原不等式能等 价地变换为 两个易作图象的函数时，可 用数形结合的方法辅助求解，尤其是处 理选择题 请同学们认真完成课后强化作业
