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1、2.2 函数的单调单调 性与最大(小)值值 要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义 增函数减函数定 义义一般地，设设函数f（x）的定义义域为为I.如果对对于定 义义域I内某个区间间D上的任意两个自变变量x1，x2 基础础知识识 自主学习习定 义义当x1f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，_叫做f（x）的单调区间. 增函数减函数区间D2.函数的最值 前提 设设函数y=f(x)的定义义域为为I，如果存在实实数M满满足 条件 对对于任意xI， 都有_； 存在x0I,使得_. 对对于任意xI，都 有_；存在
2、x0I,使得_. 结论结论 M为为最大值值 M为为最小值值 f（x）Mf（x0）=Mf（x）Mf（x0）=M基础础自测测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 ( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D. 解析 y=-x+1,y=x2-4x+5, 分别为一次函数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.B2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根 （ ）A.有且只有一个 B.有2个C.至多有一个 D.以上均不对解析 f（x）在R上是增函数，对任意x1,x2R,若x10；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0, 思维
3、启迪题题型分类类 深度剖析又x1+10,x2+10,于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在（-1,+）上为增函数. 方法二 求导数得 a1,当x-1时，axln a0, f(x)0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函数. 对对于给给出具体解析式的函数，判断或证证明其在某区间间上的单调单调 性问题问题 ，可以结结合定义义（基本步骤为骤为 取点、作差或作商、变变形、判断）求解.可导导函数则则可以利用导导数解之. 探究提高知能迁移1 试讨论函数 x(-1,1)的单调性（其中a0）.解 方法一 根据单调性的定义求解.设-10,即-10.因此，当a0时，f(x1)-f(x2)
4、0,即f(x1)f(x2),此时函数为减函数；当a0时，-10时，f（x)在（-1，1）上为减函数；a0,得x3,结合二次函数的对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是 减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数,由此可得D项符合.故选D. 思维启迪D（1）复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调单调 性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调单调 性密切相关，其单调单调 性的规规律为为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调单调 性，则则fg(x)必为为增函数，若具有不同的单调单调 性，则则fg(x)必为为减函数.（2）讨论讨论 复合函数单调单调 性的步骤骤
5、是：求出复合函数的定义义域；把复合函数分解成若干个常见见的基本函数并判断其单调单调 性；把中间变间变 量的变变化范围转围转 化成自变变量的变变化范围围；根据上述复合函数的单调单调 性规规律判断其单调单调 性. 探究提高知能迁移2 函数y= 的递减区间为（ ）A.(1,+) B. C. D. 解析 作出t=2x2-3x+1的示意图如图所示，00恒成立，试求实 数a的取值范围.第(1)问问可先证证明函数f(x)在1,+) 上的单调单调 性,然后利用函数的单调单调 性求解，对对于第(2)问问可采用转转化为为求函数f(x)在1,+)上的最小值值大于0的问题问题 来解决.思维启迪解 设1x10,2x1x
6、22,f(x2)-f(x1)0,f(x1)0恒成立 x2+2x+a0恒成立.设y=x2+2x+a,x1,+),则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间1,+)上是增函数.当x=1时，ymin=3+a,于是当且仅当ymin=3+a0时,函数f(x)0恒成立，故a-3. 要注意函数思想在求函数值值域中的运用,(1)中用函数单调单调 性求函数的最小值值;(2)中用函数的最值值解决恒成立问题问题 .在(2)中，还还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a0在1,+)上恒成立, 只要a-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质质得-(x+1)2+1-3,所以只要a-3即可. 探究
7、提高知能迁移3 已知函数 (a0,x0), (1)求证:f(x)在(0,+)上是单调递增函数;(2)若f(x)在 上的值域是 求a的值.(1)证证明 设x2x10,则x2-x10,x1x20,f(x2)f(x1),f(x)在(0,+)上是单调递增的.题型四 函数单调性与不等式【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)0,f(x2-x1)1. 2分f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-
8、1-f(x1)=f(x2-x1)-10. 5分f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数. 6分（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， f（2）=3， 8分原不等式可化为f(3m2-m-2)1时，f(x)0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. （2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则 由于当x1时，f(x)9,x9或x9或x0且a1）是R上 的减函数，则a的取值范围是 ( ) A.（0，1） B. C. D. 解析 据单调性定义，f（x）为减函数应满足：B3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( ) A.y=sin x B.y=
9、-log2xC. D. 解析 y=sin x在 上是增函数，y=sin x在（0，1）上是增函数. A4.(2009天津)已知函数 若f(2-a2)f(a)，则实数a 的取值范围是（ ）A.（-,-1）(2,+) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+)解析 由f(x)的图象可知f(x)在(-,+)上是单调递增函数,由f(2-a2)f(a)得2-a2a,即a2+a-21,函数f(x)的单调减区间为 D二、填空题7.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (xR)是偶函数，则 f(x)的单调减区间是_.解析 f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），(m-1)x2-mx+3=
10、(m-1)x2+mx+3，m=0.这时f(x)=-x2+3，单调减区间为0，+). 0,+)8.若函数 在区间(m，2m+1)上是单调递 增函数，则m_.解析 令f(x)0,得-1m,m-1.综上，-1f(-1)=-1,f(x)在（-，0）（0，+）上不是增函数.f（x）在（-，0）(0,+)上不具有单调性. 11.已知 （1）若a=-2,试证f(x)在（-,-2）内单调递增；（2）若a0且f(x)在（1,+）内单调递减，求a的取值范围.（1）证证明 任设x10,x1-x20,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立，a1.综上所述知00及 得x0, 由f(6)=1及 得fx(x+3)2f(6),即fx(x+3)-f(6)f(6),亦即 因为f(x)在(0,+)上是增函数,所以 解得 综上所述，不等式的解集是返回
