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1、数学分析 第二节 反常积分的收敛判别法二、无穷区间形式三、无界函数形式四、小 结重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用一、Cauchy收敛原理数学分析一、反常积分的Cauchy收敛原理数学分析 二、无穷区间形式1、非负函数反常积分的收敛判别法数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析2、绝对收敛与条件收敛数学分析2、绝对收敛与条件收敛证2即收敛.数学分析例1证数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 挪威数学家。狄利克萊 Dirichlet, Johann Peter
2、 Gustav Lejeune (1805 - 1859) 国际性数学奖除了菲尔兹奖和沃尔夫奖（Wolf Medal）之外，2003年又增加了一个新成员一项 奖金额约80万美金的数学终身成就奖阿贝尔 奖。数学分析非凡的数学家阿贝尔 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛， 1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂 安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的 六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲 还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所 中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo 1795-1
3、850）发现了阿贝尔的数学天才， 对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿 贝尔写了一篇解方程的论文。数学分析丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825）看过这 篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴 起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“.与 其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时 间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是 很好的题目，相信你会取得成功.”。于是阿贝尔开始转 向对椭圆函数的研究。数学分析阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。 1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂
4、安尼亚大 学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古 老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了 研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程 的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯 连信都未开封。1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（ Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办 了著名数学刊物纯粹与应用数学杂志。这个杂志头三卷发 表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的 论文。数学分析1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利 赫莱和其他人，但这
5、些会面也是虚应故事，人们并没有真正认 识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论 他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数 学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性 质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非 常自信地说：“.已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论 文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一 件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意 见，现在正昂首以待.。”数学分析可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一 放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿 贝尔等到年末，了无音信。一气
6、之下离开了巴黎，在柏林作 短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。他原希望回国 后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠 给私人补课谋生，一度当过代课教师。由于过渡疲劳和营养 不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症,但他 一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究, 该病一直折磨阿 贝尔直到1829年去世。数学分析阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的 椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发 现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一， 他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了 椭圆函数的加
7、法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数 的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他 成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着 克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比 看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事 之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗 议：数学分析“.这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现 ，虽然向老爷们的研究院提交此论文达两年之久，但一直 没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？.”。而由于阿贝 尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不 断发展，甚至连医生也束手无策了。182
8、9年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上 午11点去世。作为命运捉弄人的是，在他去世后的第二天，克 莱尔写信给阿贝尔“.我国教育部决定招聘您为柏林大学教授. ，一个月之内就能发出招聘书.。”这封信还提到，希望阿贝 尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们 听到这一消息，禁不住泪流满面。数学分析克莱尔在他的学报中所写的纪念文章里这样 赞扬阿贝尔：“阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才 的烙印和表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够 穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势.。他 又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的 天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”但是数学家们另有他法纪 念他们中的伟人，因为我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、 阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝 尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字 同数学中的这么多概念和定理联系在一起。谁也不难想象，要是 他活到正常寿命的话该有多少贡献啊。数学分析数学分析数学分析三、无界函数形式数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析比较判别法、极限形式、第二积分中 值定理、柯西判别法、A-D判别法四、小结
