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1、5 曲线拟合的最小二乘法,一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据 要求在函数类 中找一个函数 使误差平方和最小其中带权的最小二乘法：其中 是a,b上的权函数.,最佳平方逼近,最小二乘法求曲线拟合的问题,就是在 中求一函数 ,使 取的最小.它转化为求多元函数的极小点 问题. 由求多元函数极值的必要条件，有,若记 则上式可改写为这个方程称为法方程，矩阵形式: 其中,由于 线性无关, 故 ,方程组存在唯一解从而得到函数 的最小二乘解为 可证 故 是所求最小二乘解.,例 :已知一组实验数据,求它的拟合曲线。解：根据所给数据知,可选择线性函数作拟合曲线. 令 , 这里,
2、 故,由方程组 因此,所求拟合曲线为,例： 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲线解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲线函数或指数函数。 1)双曲线函数拟合 双曲线型： 即,为了确定 令由数据表t, y生成数据表 于是可用 的线性函数 拟合数据 方法与上例一样解方程组得 从而有 其各点误差为,2）指数函数拟合 拟合曲线形如 两边取对数 为了确定 令 拟合数据的曲线仍为 用上例的方法计算出 从而 最后求得各点误差为,3)两个模型的比较 本例经计算可得 均方误差为 由此可知 都比较小, 所以用 作拟合曲线较好. 确定拟合曲线的数学模型需要选择比较
3、.,用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G是病态的，但如果 是关于点集 带权 正交的函数族，即 则方程的解为且平方误差为,根据给定节点 及权函数 , 造出带权 正交的多项式 . 注意 , 用递推公式表示 , 即其中 是首项系数为1的 次多项式，且,证明：用归纳法(略).,用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合, 只要根据公式逐步求 的同时, 相应计算出系数 并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的拟合曲线这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定.,用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数增加1，其余不用改变. 此为目前用多项式作曲线拟合
4、最好的方法.多元最小二乘拟合 已知多元函数 的一组测量数据 ，以及一组权数据 要求,使得最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数 同样满足法方程，只是这里求解法方程组就可得到 ,从而得到 ,称为函数 的最小二乘拟合.,6 近似最佳一致逼近多项式,由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式(伯恩斯坦多项式).一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式. 如果 ,按 展成广义富利叶级数，由正交多项式展开公式（在 满足一定条件下可一致收敛）,可得 此式称为函数在-1,1上的切比雪夫级数. 由 得到,若令 ，则 就是 的富利叶级数，其中根据富利叶级数理论可知，只要
5、在-1,1上分段连续，则 的切比雪夫级数一致收敛于 ，从而,取它的部分和其误差为由于 有n+2个轮流为正、负的偏差点 ，所以 近似地有n+2个偏差点，由切比雪夫定理， 可作为 在-1,1上的近似最佳一致逼近多项式，实际计算表明它与最佳一致逼近多项式 非常接近，而计算较方便.,例 : 求 在-1,1上的切比雪夫展开。解 由富利叶级数系数公式得它可用后面介绍的数值积分方法计算，得到 由 及 的公式得到,当区间为 时可用变量置换求得近似最佳一致逼近.例: 求 在0,1上的近似最佳一致逼 近一次式. 可令 对 按切比雪夫系数求得,于是 事实上 是奇函数, 当区间为-1,1时, 它的切比雪夫展开也是奇函
6、数, 如n=5可求出,与最佳逼近的误差分布近似(通过里姆斯算法计算最佳逼近偏差 ). 这说明用切比雪夫展开部分和 逼近 的效果相当好.若用台劳展开 , 要使误差不超过 就必须取1000项，因为欲使 ，只有当 n1000 时才成立. 用切比雪夫展开还可得到其他基本初等函数的近似最佳逼近多项式.,二、拉格朗日插值余项的极小化基本思想：以切比雪夫多项式的零点为节点构造函数 的插值多项式, 作为其最佳一致逼近多项式的近似. 由切比雪夫多项式性质2可知，若以 为插值节点作n-1次插值多项式，则与零的偏差最小，此时插值余项,其中, . 若插值区间是 ,不是-1,1,可做变换,令使 在-1,1上变化，于是
7、它的最高项系数为 ，故有,这时只要选插值节点相应地 这时,由此可知，用公式做插值节点求 在 上的插值多项式 ,虽然不能作为最佳逼近多项式，但由于它的误差分布均匀，得到的插值多项式 是近似最佳一致逼近多项式.,例: 求 在0,1上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过 。,可算得计算出 插值多项式为,三、台劳级数项数的节约 函数 的台劳展开容易计算，但用它的部分和做逼近多项式误差分布极不均匀，为了改善其误差分布可利用 均匀分布特点，对它进行改造。现设 在-1,1上台劳展开部分和为 若 ，其中 是给定的误差限，则可利用切比雪夫多项式将 重新组合,以降低逼近多项式次数，此时,例. 用台劳展开求 在 的逼近多项式.解：应用 的台劳展开，取n=6，得 作为 的近似，其误差为由于,利用台劳展开降低次数的方法求逼近多项式，开始项数越多效果越显著，这种做法由于对台劳展开重新改组使低次多项式误差分布比较均匀，因此可作为近似最佳逼近多项式.,作业1、用格拉姆施密特方法构造正交多项式, 求 在0,1上的二次最佳平方逼近多项式.2、用最小二乘法求一个形如 的经验公式， 使它与下列数据拟合，并计算均方误差.,
