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1、第1页 *1.4.3 正切函数的性质与图象第2页 *自 学 导 引(学生用书P26)由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质.第3页 *课 前 热 身(学生用书P26)函数y=tanx的性质与图象见下表:y=tanx图象定义域值域 周期 奇偶性 单调性在开区间_上都是_(-,+) 最小正周期是奇函数 增函数第4页 *名 师 讲 解 (学生用书P26)1.正切函数的性质通过观察正切线正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域值域周期性奇偶性和单调性.对于正切函数的性质应注意以下几点:第5页 *正切函数y=tanx的定义域是x|xk+ ,kZ,这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中
2、往往注意不到.比如,求函数 的定义域,不仅要考虑到tanx1,还要考虑到tanx自身的限制,于是有:注意一定不能忽略后者.第6页 *正切函数y=tanx的最小正周期为,这一点也是与正弦函数余弦函数不同的.形如y=tanx的函数的最小正周期 这可以作为公式使用.关于正切函数的单调性有下列命题:命题一:正切函数y=tanx是增函数;命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数;命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间( +k, +k)(kZ)内是增函数.应指出,只有命题三是真命题.第7页 *2.正切曲线(1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下
3、两个方向无限伸展,并被无穷多条与x轴垂直的直线x=k+ (kZ)隔开的无穷多支曲线所组成的.这些直线x=k+ (kZ)为正切曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连续变化的,并且从左向右看是上升的.第8页 *(2)正切曲线草图的画法.正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”画出草图,“三点”是指(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指x=- ,x= .在三点两线确定的情况下,可大致画出正切函数在(- , )上的简图,然后向左右平移即可得正切曲线.第9页 *典 例 剖 析(学生用书P26)题型一 利用正切函数的单调性比较大小第10页 *例1:比较的大小.分析:利
4、用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用正切函数的单调性比较大小.第11页 *第12页 *规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公式化成同名函数.第13页 *变式训练1:比较下列各组数的大小.(2)tan1,tan2,tan3.第14页 *第15页 *题型二 求函数的单调区间例2:写出下列函数的单调区间(1)y=tan(2)y=|tanx|.分析:(1)用换元法,(2)用图象解.第16页 *第17页 *(2)y=|tanx|= tanx,xk,k+ )(kZ),-tanx,x(k- ,k(kZ).可作出其图象(如下图),由图象知
5、函数y=|tanx|的单调递减区间为(k- ,k(kZ),单调递增区间为k,k+2)(kZ). 第18页 *规律技巧:因为本题是分段函数且周期为,所以可考查在(0, )及(- ,0)的单调性,然后根据周期,写出x在定义域内的单调区间.第19页 *变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是_.第20页 *题型三 正切函数性质的应用例3:(2005全国)已知函数y=tanx在(- , )内是减函数,则( )A.01时,图象将缩小周期,故-1tan45=1,a=logtan70log=1,而c=()cos25(0,1),bca.答案:D第33页 *第34页 *答案:C第35页 *8.给出下列
6、命题:函数y=cosx在第三四象限都是增函数;函数y=tan(x+)的最小正周期为函数y=sin 是偶函数;函数的图象关于原点对称.其中正确命题的序号是_.第36页 *解析:的说法是错误的.中最小正周期应为 所以也错.中是偶函数,所以正确.对于易知为奇函数,所以图象关于原点对称,故正确.答案:第37页 *能力提升9.已知点p(sin-cos,tan)在第一象限,则在0,2)内的取值范围是( )第38页 *答案:B第39页 *10.求函数的单调区间.分析:由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解.第40页 *第41页 *品 味 高 考(学生用书P28)11.(2008江西)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象大致是( )第42页 *解析:当x( ,)时,tanx0,y=tanx+sinx+tanx-sinx=2tanx0.当x(, )时,y=tanx+sinx-tanx+sinx=2sinx0.综合图象知.应选D.答案:D第43页 *第44页 *答案:C
