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1、线性代数线性代数证明题证明题张小向张小向东南大学数学系 http:/ E-mail:版本:2007.12.10一一. . 为什么要练习解决证明题为什么要练习解决证明题培养严谨的逻辑思维能力。培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 为什么要竞争？为什么要竞争？ 竞争。竞争。 生存。生存。 为什么要生存？为什么要生存？ 本能。本能。 二二. . 我们为什么觉得证明题难我们为什么觉得证明题难 不清楚题目所涉及的概念不清楚题目所涉及的概念 不熟悉现存的有关结论不熟悉现存的有关结论 分不清条件的分不清条件的必要性必要性与与充分充分 性性 不善于组织语言
2、不善于组织语言 没有积累足够的经验没有积累足够的经验 没有深入思考没有深入思考三三. . 证明题的难度分类证明题的难度分类1. 1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 条件条件 结论结论 定义定义/ /定理定理/ /性质性质/ /推论推论/ /公式公式 检验检验 例例1 1. . 设设e e1 1= = 1 1 0 00 0 , , e e2 2= = 0 0 1 10 0 , , , , e en n= = 0 0 0 01 1 , , 证明证明: (1) : (1) e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性无关线性无关. . (2
3、) (2) 任何一个任何一个n n维向量都能由维向量都能由 e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性表示线性表示. . k k1 1, , k k2 2, , , , k kn n不存在不全为零的数不存在不全为零的数k k1 1e e1 1+ +k k2 2e e2 2+k kn ne en n= = . . 使使 即即 k k1 1 0 00 0 + + 0 0 k k2 20 0 + + = = 0 0 0 0k kn n , , 0 0 0 00 0 亦即亦即 k k1 1 k k2 2k kn n = = , , 0 0 0 00 0 可见可见k k1 1= =
4、k k2 2=k kn n=0. =0. 证明证明: (1) : (1) 所以所以e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性无关线性无关. . 不存在不全为零的数不存在不全为零的数k k1 1, , k k2 2, , , , k kn n使使k k1 1e e1 1+ +k k2 2e e2 2+k kn ne en n= = . . 这就是说这就是说 若若k k1 1e e1 1+ +k k2 2e e2 2+k kn ne en n= = , , 例例1 1. . 设设e e1 1= = 1 1 0 00 0 , , e e2 2= = 0 0 1 10 0 , ,
5、 , , e en n= = 0 0 0 01 1 , , 证明证明: (1) : (1) e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性无关线性无关. . (2) (2) 任何一个任何一个n n维向量都能由维向量都能由 e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性表示线性表示. . a a1 1 a a2 2a an n = = 1 1 0 00 0 + + 0 0 1 10 0 + + + + 0 0 0 01 1 a a1 1a a2 2a an n证明证明: (2) : (2) 因为因为 = = 1 1 0 00 0 + + 0 0 1 10 0
6、+ + + + 0 0 0 01 1 a a1 1 a a2 2a an n a a1 1a a2 2a an na a1 1 a a2 2a an n 都成立都成立, , 对于任意的对于任意的n n维向量维向量 所以任何一个所以任何一个n n维向量都能由维向量都能由 e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性表示线性表示. . 证明证明: (2) : (2) 对于任意的对于任意的n n维向量维向量 =(=(a a1 1, , a a2 2, , , , a an n) )T T, , 设设 = = x x1 1e e1 1+ +x x2 2e e2 2+x xn ne
7、en n, , x x1 1 0 00 0 + + 0 0 x x2 20 0 + + 0 0 0 0x xn n , , a a1 1 a a2 2a an n = = 由此可得由此可得x x1 1= =a a1 1, , x x2 2= =a a2 2, , , , x xn n= =a an n. . 所以任何一个所以任何一个n n维向量都能由维向量都能由e e1 1, , e e2 2, , , , e en n线性表示线性表示. . 这只是这只是 必要条件必要条件 即即 经检验经检验, , = = a a1 1e e1 1+ +a a2 2e e2 2+a an ne en n 确实
8、成立确实成立, , 三三. . 证明题的难度分类证明题的难度分类 直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 从结论往回推一步从结论往回推一步 条件条件 结论结论 对接对接 定义定义/ /定理定理/ /性质性质/ /推论推论/ /公式公式 从条件往下推一步从条件往下推一步+ + 例例2 2. . 设设 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关, , 证明证明 1 1= = 1 1+ + 2 2+ + 3 3, , 2 2= = 2 2+ + 3 3, , 3 3= = 3 3 也线性无关也线性无关. . 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关 1
9、 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关 由由k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3 3= = 推出推出k k1 1= =k k2 2= =k k3 3=0 =0 由由l l1 1 1 1+ +l l2 2 2 2+ +l l3 3 3 3= = 推出推出l l1 1= =l l2 2= =l l3 3=0 =0 证明证明: :若若k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3 3= = , , 即即k k1 1( ( 1 1+ + 2 2+ + 3 3)+)+k k2 2( ( 2 2+ + 3 3)+)+k k3 3 3 3= =
10、 , , 亦即亦即k k1 1 1 1+ +( (k k1 1+ +k k2 2) ) 2 2+(+(k k1 1+ +k k2 2+ +k k3 3) ) 3 3= = . . 又因为又因为 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关, , 所以所以k k1 1= = k k1 1+ +k k2 2= = k k1 1+ +k k2 2+ +k k3 3= 0. = 0. 由此可得由此可得k k1 1= = k k2 2= = k k3 3= 0. = 0. 这就是说这就是说, , 不存在不全为零的数不存在不全为零的数k k1 1, , k k2 2, , k k3 3使使k k1
11、1 1 1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3 3= = . . 所以所以 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关. . 三三. . 证明题的难度分类证明题的难度分类 直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 从条件往下推一步从条件往下推一步+ +从结论往回推一步从结论往回推一步 要走好几步而且有分岔要走好几步而且有分岔, , 可能要讨论可能要讨论, , 归纳归纳 条件条件 结论结论 例例3 3. . 设设A A, , B B, , A A+ +B B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, , 证明证明A A 1 1+ + B B 1 1也也 是是可逆矩
12、阵可逆矩阵. . A A, , B B, , A A+ +B B可逆可逆 A A 1 1+ + B B 1 1可逆可逆 | |A A|, |, | |B B| |, | , |A A+ +B B| | 0 0 A Ax x = = 只有零解只有零解 A A, , B B, , A A+ +B B满秩满秩 A A, , B B, , A A+ +B B与与I I相抵相抵 A A的行的行( (列列) )向量组向量组 线性无关线性无关 A A 1 1+ +B B 1 1的行的行( (列列) )向量组线性无关向量组线性无关 A A 1 1+ +B B 1 1与与I I相抵相抵 A A 1 1+ +B
13、B 1 1满秩满秩 ( (A A 1 1+ +B B 1 1) )x x = = 只有零解只有零解 | |A A 1 1+ +B B 1 1| | 0 0 注意到注意到 这几个矩阵这几个矩阵 都是方阵都是方阵 例例3 3. . 设设A A, , B B, , A A+ +B B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, , 证明证明A A 1 1+ + B B 1 1也也 是是可逆矩阵可逆矩阵. . 证明证明: : 因为因为A A, , B B, , A A+ +B B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, , = |= |A A 1 1( (BBBB 1 1) + () + (A A 1 1A A) )B B 1 1|
14、 | = |= |A A 1 1( (BBBB 1 1) + ) + A A 1 1( (ABAB 1 1)| )| = |= |A A 1 1( (B BB B 1 1+ + A AB B 1 1)| )| = |= |A A 1 1( (B B + + A A) )B B 1 1| | = |= |A A 1 1( (A A + + B B) )B B 1 1| | = |= |A A 1 1| | | |A A+ +B B| | | |B B 1 1| | = |= |A A| | 1 1 | |A A+ +B B| | | |B B| | 1 1| |A A 1 1+ + B B 1 1| = | = |A A 1 1I I + + I IB B 1 1| | 所以所以| |A A|, |, |B B|, |, |A A+ +B B| |都不为零都不为零. . 于是可得于是可得 0. 0. 可见可见A A 1 1+ + B B 1
