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1、第三节 圆的方程三年5考 高考指数:1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题.1.圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点；2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念；3.题型多以选择题和填空题为主，属中低档题目.1.圆的定义、方程(1)在平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫做圆；(2)确定一个圆的基本要素是：_和_.(3)圆的标准方程两个条件：圆心(a,b), _；标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.定点定长圆心半径半径r(4)圆的一般方程一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0；方程表示圆的充要条件为：_
2、；圆心坐标 ,半径r= .D2+E2-4F0【即时应用】(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是_；(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ y-3=0的距离为_；(3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心, 为半径的圆的方程为_.【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-2a ;(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线x+ y-3=0的距离为(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,由 C(-1,2).所求
3、圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即:x2+y2+2x-4y=0.答案：(1)-2a (2)1 (3)x2+y2+2x-4y=02.点与圆的位置关系(1)理论依据：_与_的距离与半径的大小关系(2)三个结论：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)_点在圆上；_点在圆外；_点在圆内.点圆心(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2r2【即时应用】(1)请思考下列问题若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？若点M(x0,y0)在圆x2+y2
4、+Dx+Ey+F=0内，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？提示：x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;x02+y02+Dx0+Ey0+F0;x02+y02+Dx0+Ey0+F0.(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范围是_；【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以(2a)2-4(a2+a-2)0，解得:a2,又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-20，解得：a-2或a1,综上可得1a2或a-2.答案
5、：1a2或a-2(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_,b=_.【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为A、B两点都在圆上，所以 ,解得方法二：易知圆心在y=x上，1= ,即a=-2,又点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上，12+22-21-22+b=0,b=1.答案：-2 1求圆的方程【方法点睛】1.求圆的方程的方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据
6、已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.【例1】(1)过点A(-2,4)、B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程_；(2)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.【解题指南】(1)可设圆的方程的一般形式，利用A(-2,4)、B(3,-1)两点在圆上及该圆在x
7、轴上截得的弦长等于6，得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程；(2)可先设圆心坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.【规范解答】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B两点的坐标代入得 ，再令y=0，得x2+Dx+F=0，设x1、x2是方程的两根，由|x1-x2|=6得，D2-4F=36，由 ,解得 或因此，所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x
8、2+y2-6x-8y=0(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：解得：半径因此，所求圆的方程为：方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组 得： ，以下同方法一.【互动探究】本例(2)中“经过点A(-2，-4)”改为“圆心在直线x+y-4=0上”,结果如何？【解析】方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题设有 解得因此，所求圆的方程为:方法二：依题设可知，圆心也在过切点B(8，6)且与l垂直的直线上，其斜率为3，所以方程为y-6=3(
9、x-8)即3x-y-18=0，又圆心在x+y-4=0上，由，得圆心( ),半径因此，所求圆的方程为：【反思感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.【变式备选】已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是_.【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、(0,-6)，所以，圆的半径为 ，圆的方
10、程为：(x-2)2+(y+3)2=13.答案：(x-2)2+(y+3)2=13与圆有关的最值问题【方法点睛】与圆有关的最值问题，常见的有以下类型(1)形如 型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值.【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解.
11、 为点(x,y)与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方；也可以消去一个元，转化为在函数定义域内求最值.【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜率，所以设 ，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ,解得k= .所以 的最大值为 、最小值为(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时，直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时,解得 .所以y-x的最大值为 、最小值为(3)方法一：x2+y2表示点
12、(x,y)与原点的距离的平方，由平面几何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2，故方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-10,即：x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1,【反思感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论.2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则的最大值为_；最小值为_.【解
13、析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率，所以设 ，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ,解得 .所以的最大值为 、最小值为 .答案：【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求(x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值.【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4)的距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为,所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的最大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、最小值为16.方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2
14、=1上任意一点，所以可设，则(x-2)2+(y+4)2=(cos-3)2+(sin+4)2=26+8sin-6cos=26+10sin(+)(其中tan= ).故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36；(x-2)2+(y+4)2的最小值为16.与圆有关的轨迹问题【方法点睛】1.求轨迹方程的基本步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；第二步：写出适合已知条件的点M的集合P=M|P(M)；第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.2.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法定
15、义法根据圆（或直线）的定义列方程求解的方法几何法利用圆的几何性质，得出方程的方法找出要求的点与已知点的关系，代入已知 点满足的关系式的方法代入法【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程.【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的坐标分别为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以,化简得：x2+y2=a2.
