《2013版高中全程复习方略配套课件2.9函数与方程(北师大·数学理·陕西专用)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中全程复习方略配套课件2.9函数与方程(北师大·数学理·陕西专用)（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 函数与方程 三年12考 高考指数:结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.2.常与函数的图像与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.1.函数的零点(1)定义：函数y=f(x)的图像与_称为这个函数的零点.(2)几个等价关系：横轴的交点的横坐标f(x)=0有实数根f(x）的图像 与x轴有交点f(x)有零点【即时应用】(1)函数f(x)=x3-x的零点是_;(2)函数f(x)=lgx
2、- 的零点个数是_.【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0,解得x=0,1,-1,f(x)的零点为-1，0，1.(2)由等价关系、零点个数转化为方程lgx- =0的根的个数 lgx= 即又转化为函数y=lgx与y= 图像的交点个数，由图像得有一个交点,即函数f(x)=lgx- 有1个零点.答案：(1)-1，0，1 (2)1 2.函数零点的存在性定理条件 结论结论函数y=f（x） 在 上y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点(1)图像是连续曲线(2)f(a)f(b)0，则不存在实数c(a,b)使得f(c)=0; ( )若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0;(
3、 )若f(a)f(b)0,f(3)=230,f(4)=590,故只有区间(1，2)满足.(4)由f(0)f(1)1.答案：(1) (2)单调函数 (3)(1，2) (4)m1确定函数零点所在的区间【方法点睛】确定函数f(x)的零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0，f(1)=( )1-2-13=10，f(2)=( )2-2-23=-72,排除A.f(3)= 0,f(5)=ln3- 0，f(3)f(4)0，函数f
4、(x)的零点所在的大致区间是(3，4).【互动探究】把本例(1)中的函数改为方程log3x+x=3,判断其解所在的区间.【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=log3 0,又因为函数f(x)在(0，+)上是连续且单调的函数，所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).【反思感悟】1.判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图像不易作出时，常用函数零点存在性定理判断.2.判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.【变式备选】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )(
5、A)(-2，-1)(B)(-1，0)(C)(0，1)(D)(1，2)【解析】选C.因为f(0)=-10,所以零点在区间(0，1)上，故选C.判断函数零点个数【方法点睛】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题；先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不
6、同的零点. 【例2】(2011陕西高考)函数f(x)= -cosx在0，+)内( )(A)没有零点(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点【解题指南】解决本题可转化为两函数y= 和y=cosx在0，+)内的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断.【规范解答】选B.方法一：数形结合法，令f(x)= -cosx=0,则 =cosx,设函数y= 和y=cosx,它们在0，+)内的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(x)= -cosx在0，+)内有且仅有一个零点；方法二：当x ,+)时， 1,cosx1,所以f(x)= -cosx0;当x(0
7、, 时,f(x)= +sinx0,所以函数f(x)= -cosx是增函数，又因为f(0)=-1,f( )= 0,所以f(x)= -cosx在x(0, )上有且只有一个零点.【反思感悟】在判断函数y=f(x)的零点个数或方程f(x)=0根的个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；若可转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题，则用图像法求解，此时应注意画图要尽量精确，若图像画得太粗糙则易出现失误；若图像不易画则可利用零点存在性定理及函数的性质综合求解.【变式训练】函数y=sinx-lgx的零点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选D.令函数y=sinx-lgx=0,即s
8、inx=lgx,设y1=sinx,y2=lgx,这两个函数的图像的交点个数就是所给函数的零点的个数，y2=lgx过(1，0)点和(10，1)点，与y1=sinx的交点个数是3，函数的零点的个数是3，故选D.【变式备选】(1)判断函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)是否存在零点.【解析】方法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2(x+2)与函数y=x的图像，观察知：两函数在-1，3上有一个交点，即函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点.方法二：显然函数f(x)=log2(x+2)-x在-1,3上是连续不断的，f(-1)=log2(-1+2)+1=10,f(3
9、)=log2(3+2)-3=log25-30,f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点.(2)判断函数 在-1，1上零点的个数，并说明理由.【解析】显然函数 在-1，1上是连续不断的，f(-1)= (-1)3+(-1)2+4(-1)= 0,又当-1x1时，0f(x) 在-1，1上是单调递增函数，f(x)在-1,1上只有一个零点.由函数零点的存在情况求参数的取值【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路:(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，
10、在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解.【例3】(2012济南模拟)已知函数 (1)若g(x)=k有零点，求k的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解题指南】(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解.(2)转化为函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.【规范解答】(1)方法一： 等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需k2e,则g(x)=k就有零点.方法二：作出 的大致图像如图：可知若使g(x)=k有零点，则只需k2e.xg(x) yo2ey=ke(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g
11、(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出 的大致图像.xyo2eg（x）f（x）ef(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其图像的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图像的交点问题求解.【变式训练】(2012长沙模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a0)的图像如图
12、所示.(1)求c,d的值；(2)若x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围.【解析】函数f(x)的导函数为f(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b.(1)由题干图可知，函数f(x)的图像过点(0，3)，且(2)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a0),f(x)=3ax2+2bx-3a-2b,由图知f(5)=0，得b=-9a 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)0,且a1).当23,-b0,f(3)0,即f(2)f(3)0时，f(a)=a2=4,a=2.综上，a=-4或2.3.(2012长安模拟）函数y=f(x)满足f(x+2)=-
13、f(x),当x(-2,2时，f(x)=|x|-1,则f(x)在0,2 010上零点的个数为( )（A）1 004 （B）1 005 （C）2 009 （D）2 010【解析】选B.由f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),周期T=4,由题意得f(x)在0,4上的图像如图，由图知函数f(x)在一个周期0,4上有两个零点，2 010=5024+2,f(x)在0,2 010上零点的个数为5022+1=1 005.4.(2011辽宁高考)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是_.【解析】函数f(x)=ex-2x+a有零点，即方程ex-2x+a=0有实根，即函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，而g(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-,ln2)上递增，在(ln2，+)上递减，因此g(x)=2x-ex的值域为(-,2ln2-2,所以要使函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，只需a2ln2-2即可.答案：(-,2ln2-2
