数字电路与逻辑设计逻辑代数基础

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1、逻 辑 代 数 基 础第 二 章逻辑代数是数字系统设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。1847年,英国数学家乔治布尔提出了用数学分析方法表 示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数 演算，从而诞生了著名的“布尔代数”。1938年，克劳德向农将布尔代数应用于电话继电器的开 关电路，提出了“开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触 点开关，故“开关代数”这个术语已很少使用。为了与“数字 系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数。本章知识要点： 基本概念 ； 基本定理和规则规则 ； 逻辑逻辑 函数的表示

2、形式 ； 逻辑逻辑 函数的化简简 。逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K ，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记 为L=K,+,-,0,1。该系统应满足下列公理。2.1 逻辑代数的基本概念公 理 1 交 换 律对于任意逻辑变量A、B，有A + B = B + A ； AB = B A公 理 2 结 合 律对于任意的逻辑变量A、B、C，有(A + B) + C = A + ( B + C )( AB ) C = A( B C )公 理 3 分 配 律对于任意的逻辑变量A、B、C，有A + ( BC ) = (A + B)(A + C) ；A( B + C)

3、= AB + AC公 理 4 01 律对于任意逻辑变量A，有A + 0 = A ； A 1 = AA + 1 = 1 ； A 0 = 0 公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公 理 5 互 补 律对于任意逻辑变量A，存在唯一的 ，使得2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化 的量，即变量。所不同的是：1在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻 辑代数是 一 种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两 种可能性取值0或取值1。2逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。在数字系统中，开关的接 通与断开，电压

4、的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与 截止等两种稳定的物理状态，均可用1和0这两种不同的逻辑 值来表征。一变量二基本逻辑运算 描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元 件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关 系。逻辑代数中定义了“或”、“与” 、“非”三种基本运算。 1“或”运算 如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一 个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系 称之为“或”逻辑。 例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。在上图所示电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出 ，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。 因此，灯F与开关A、

5、B之间的关系是“或”逻辑关系。 并联开关电路 ABF用两个开关并联控制一个灯的电路如下图所示。逻辑代数中，“或”逻辑用“或”运算描述。其运算符号为 “+”，有时也用“”表示。两变量“或”运算的关系可表示 为 F = A + B 或者 F = A B 读作“F等于A或B”。在下图所示电路中，假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示 ；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所 示。即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F 才为0。F并联开关电路 AB“或”运算表 A BF0 00 11 01 10 1 1 1“或”运算的运算法则： 0 + 0 = 0 1 +

6、0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。 2“与” 运算如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事 件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。其运 算符号为“”，有时也用“”表示。两变量“与”运算关系可 表示为 F = AB 或者 F = AB即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。ABF串联开关电路 假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1 表示，灯灭用0表示，则电路中灯F和开关A、B之间的关系即 上表所示的“与”运算关系。 “与”逻辑关系如下表所示。“与”运算表 A B

7、F0 00 11 01 10 0 0 1“与”运算的运算法则:0 0 = 0 1 0 = 00 1 = 0 1 1 = 1 实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。3“非” 运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件 发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号 为“”，有时也用“”表示。“非”运算的逻辑关系可表示为F = 或者 F = A，读作“F等于A非 ”。即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。例如，在右上图所示电路中，开关与灯并联。显然，仅当 开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0 表示，

8、开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电 路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系。 “非”运算的运算法则：；实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，有时又称为“ 反相器”。A开关与灯并联电路 F“非”逻辑关系可用下表:“非”运算表 A F0 1 1 02.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似 ，即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念 相比，逻辑函数具有如下特点： 1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可 能 ； 2函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三 种基本运算决定的 。 一、逻辑逻辑 函数的定义义图

9、中，F被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为 F = f( A1，A2，An )逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本 身的结构决定的。任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描 述，因此，可借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下:设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，An，输 出逻辑变量为F，如下图所示。逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。什么叫做两个逻辑函数相等呢？设有两个相同变量的逻辑函数F1 = f1( A 1,A 2, ,A n)F2 = f2( A 1,A 2, ,A n)若对应于逻辑变量 A1 ,A2

10、, , An的任何一组取值，F1和 F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记作F1 = F2 。如何判断两个逻辑函数是否相等？通常有两种方法,一种方法是真值表法，另一种方法是代 数法。2.1.3 逻辑函数的表示法该逻辑表达式描述了一个两变量的逻辑函数F。函数F和变量A、B的关系是：当变量A和B取值不同时，函数F的值为“1”； 取值相同时，函数F的值为“0”。逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”3种运算符以及括号所构成的式子。例如一、逻辑逻辑 表达式 如何对逻辑功能进行描述？常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。 逻辑表达式的简写: 1.“非”运算符下可不加括号，如 ， 等。2

11、.“与”运算符一般可省略，如AB可写成AB。 高低3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (AB)+(CD)可写为AB+CD。注意:(A+B)(C+D)不能省略括号,即不能写成A+BC+D！ 运算优先法则： ( )+4. (A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或 者A(BC)可用ABC代替。 二、真值值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相 应函数值的表格称为真值表。由于一个逻辑变量有0和1两种可能的取值，n个逻辑变量 共有2n种可能的取值组合。因此，一个n个变量的逻辑函数， 其真值表有2

12、n行。真值表由两部分组成：左边一栏列出变量的所有取值 组合，为了不发生遗漏，通常各变 量取值组合按二进制数码顺序给出 ；右边一栏为逻辑函数值。例如，逻辑函数 的真值表如右表所示。 函数F的真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0三、卡诺图诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成 的平面图。这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十 分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍。 描述逻辑逻辑函数的3种方法各有特点,可用于不同场合 。但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不

13、同描 述形式，相互之间可以很方便地进行变换。 2 .2 逻辑代数的基本定理和规则 根据逻辑代数的公理，可以推导出逻辑代数的基本定理。 常用的有组定理。(对定理中的一个表达式加以证明)2.2.1 基本定理 定理10 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 0 = 0 1 0 = 00 + 1 = 1 1 + 1 = 1 0 1 = 0 1 1 = 1证明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可 以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。 如果以1和0代替公理5中的A，则可得到如下推论： 定理2 A + A = A ； A A = A 定理3 A + A B = A ； A (

14、 A + B ) = A2.2.2 重要规则 3条重要规则规则 :代入规则规则 、反演规则规则 、对对偶规则规则例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即AB+(C+D)= AB+A(C+D)代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。 代入规则：任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有 出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。一、代入规则规则 代入规则的意义：利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任 意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作 公式使用，无需另加

15、证明。注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量 的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。例如，用逻辑函数F = f(A1,A2,，An)代替公理A + = 1 中 的变量A，便可得到等式 f(A1,A2,，An) + (A1,A2,，An) =1即一个函数和其反函数进行“或”运算，其结果为1。即:“” “+”，“0” “1”，原变量 反变量二、反演规则规则 反演规则实际上是定理6的推广，可通过定理6和代入规 则得到证明。例如，已知函数 ，根据反演规则有反演规则：若将逻辑逻辑 函数表达式F中所有的“”变变成“+” ，“+”变变成“”；“0”变变成“1”，“1”变变成“0”；原变变量变变成反变变 量，反变变量变变成原变变量。并保持原函数中的运算顺顺序不变变， 则则所得到的新的函数为为原函数F的反函数 。注意: 使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的 优先顺序不变。三、对偶规则如果将逻辑函数表达式F中所有的“”变成“+”,“+”变成 “”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺 序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式， 并记