2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)§10.1

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1、10.1 两个计数原理考点探究挑战高考考向瞭望把脉高考 10.1两 个 计 数 原 理双基研习面对高考双基研习面对高考基础梳理基础梳理1分类加法计数原理 (1)如果完成一件事有两类办法，在第一类办法中 有m种不同的方法，在第二类办法中有n种不同的 方法，那么完成这件事共有N_种不同的方 法 (2)如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的 方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那 么完成这件事共有N_种不同的 方法mnm1m2 mn2分步乘法计数原理(1)如果完成一件事需要两个步骤，缺一不可，做第一步有m种方法，做第二步有n种方法，那么完成这件

2、事共有N_种不同的方法(2)如果完成一件事需要n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法mnm1m2mn思考感悟 分类加法计数原理与分步乘法计数原 理有何区别？ 【思考提示】 (1)运用分类加法计数原理时，首 先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满 足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类 且仅属于某一类，即“类”与“类”间的确定性与并 列性 (2)运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标 准，分步必须满足：完成一件事必须且只需连续 完成这几步，即各个步骤是相互依存的，各个步 骤都完成了，这件事才算完成，注意“

3、步”与“步” 的连续性 课前热身课前热身1有数学书2本，语文书3本，英语书4本，若从中取数学书、语文书、英语书各一本，则不同的取法种数有( )A9 B10C24 D35答案：C2(2011年阜阳模拟)在所有的两位数中，个位数 字大于十位数字的两位数共有( ) A24个 B28个 C36个 D48个 答案：C 3某校高一有学生1000人，高二有学生900人， 高三有学生1200人，则从中任选一人参加某项调 查，不同选法有( ) A1种 B3种 C3100种 D10001200900种 答案：C4将3封信投入6个信箱内，不同的投法有_种答案：2165从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对

4、数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_答案：17考点探究挑战高考考点突破考点突破分类加法计数原理的应用分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？【思路点拨】 首先列出约束条件，然后寻找x1,2，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解例例1 1当x1时，y11； 当x2时，y10,11； 当x3时，y9,10,11； 当x4时，y8,9,10,11； 当x5时，y7,8,9,10,11； 当x6时，y6,7,8,9,10,11； 当x

5、7时，y7,8,9,10,11； 当x11时，y11. 所以不同三角形的个数为1234565 432136.【名师点评】 本题是用分类加法计数原理解答 的结合本题可进一步加深对“完成一件事，有n 类办法”的理解所谓“完成一件事情，有n类办法 ”，就是指完成这件事情的所有办法的一个分类，分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于 它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其 次分类时要注意满足一个基本要求，完成这件事 情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属 于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足 这些条件才可以用分类加法计数原理分步乘法计数原理的应用在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成

6、，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？【思路点拨】 本例实质是分步计数原理在解决解析几何问题中的应用这里应该注意两点：一 是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法例例2 2【解】 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法

7、； 第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数 是6636. (2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是 326.(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个)【名师点评】 利用分步乘法计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事变式训练2 已知集合M3，

8、2，1,0,1,2， 若a，b，cM，求： (1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？ (2)yax2bxc可以表示多少个图像开口向上的二次函数？ (3)yax2bxc可以表示多少个图像关于直线x 1对称的函数？ 解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c 的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示 566180个不同的二次函数(2)yax2bxc的图像开口向上时，a的取值有2 种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2 bxc可以表示26672个图像开口向上的二次 函数 (3)当yax2bxc表示关于x1对称的二次函 数时，b2a.有两种情况，即：a1，b2或 a1，

9、b2. 当yax2bxc表示常数函数时，ab0，c有6 种情况， 因此yax2bxc可以表示8个图像关于直线x 1对称的函数两个计数原理的综合应用用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”和“分步”的具体标准在“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【思路点拨】 先确定世

10、博会宣传广告与公益广告的播放顺序，再确定商业广告的播放顺序例例3 3【解】 用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺 序，则完成这件事有3类方法 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4 、6，分6步完成这件事共有33221136(种) 不同的播放方式 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4 、6，分6步完成这件事共有33221136(种) 不同的播放方式 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3 、6，同样分6步完成这件事，共有332211 36(种)不同的播放方式 由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式 有363636108(种)【名师点评】 在解决实际问题的过程中，并

11、不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成；而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求另外，问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在 于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步变式训练2 如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉 可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉， 相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )A180种 B240种 C360种 D420种解析：选D.本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)

12、，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时注意：区域2与4同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法，区域2与4不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有543(322)420(种)栽种方案，故选D.方法感悟方法感悟方法技巧1分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类 加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 ；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件 事(如例3) 2混合问题一般是先分类再分步(如例3)

13、3如果完成一件事有几类办法，这几类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法 都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数 时就用分类加法计数原理，分类加法计数原理可 利用“并联”电路来理解(如例1) 4如果完成一件事情要分几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能 完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同 的办法，求完成这件事的方法种数时就用分步乘 法计数原理，分步乘法计数原理可利用“串联”电 路来理解(如例2)失误防范应用两种计数原理解题的步骤：(1)分清要完成的事情是什么；(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有

14、无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏考向瞭望把脉高考考情分析考情分析两个计数原理是每年必考的知识点之一，考查重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用以及它们的综合应用题型为选择题、填空题，分值 在5分左右，属中档题两个计数原理一般不单独考查，常与排列、组合的知识相结合命题 预测2012年高考中，两个计数原理仍是考查重点，同时应特别重视分类加法计数原理的应用，它体现了分类讨论的思想方法真题透析真题透析(2009年高考全国卷)甲组有5名男同学、3 名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从 甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰 有1名女同学的不同选法共有( ) A150种 B180

15、种 C300种 D345种例例【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易失误的是：在甲、乙 两组中各选出2名同学，不要误以为是在全体中选 出2名同学；在每一类中，如甲组选出1名女同 学后，乙组就不能再选女同学了，只能从6名男同 学中选取，不要误以为是在整个乙组8名同学中选取 (2)解决此类问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算 各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目 名师预测名师预测1(2011年焦作质检)只用1,2,3三个数字组成一个 四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数 字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A6个 B9个 C18个 D36个 解析：选C.由题意知，1,2,3中必有某一个数字重 复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法 ；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两 个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数 放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共 可组成33218(个)不同的四位数2