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1、第1章 时域离散信号和时域离散系统 第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法 1第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般把信号看作时间的函数。2第1章 时域离散信号和时域离散系统 本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方
2、法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。 3第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 4第1章 时域离散信号和时域离散系统 这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序 列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序
3、列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)， -n(1.2.2) 5第1章 时域离散信号和时域离散系统 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.16第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2.1 常用的典型序列(7种）1. 单位采样序列(n) 1，n=00，n0 (1.2.3)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。模拟信号和系统中单位冲激函数(t)t=0，取值
4、无穷大，t0，取值为0，对t积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。 7第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号 8第1章 时域离散信号和时域离散系统 2. 单位阶跃序列u(n) 1,n00,n0 (1.2.4)单位阶跃序列如图1.2.2所示。模拟信号中单位阶跃函数u(t) 1,t 00,t 0,t0(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5) (1.2.6) 令n-k=m，代入上式得到9第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.2 单位阶跃序列 10第1章
5、时域离散信号和时域离散系统 3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0， 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9) (1.2.7)RN(n)= 11第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.3 矩形序列 12第1章 时域离散信号和时域离散系统 4. 实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。 13第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.4 实指数序列 14第1章 时域离散信
6、号和时域离散系统 5. 正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值 之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到，那么 xa(t)=sin(t)xa (t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)15第1章 时域离散信号和时域离散系统 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T (1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：
7、 (1.2.11)16第1章 时域离散信号和时域离散系统 6. 复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数，下面等式成立：e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,217第1章 时域离散信号和时域离散系统 7. 周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，序列右移；n0，求输出序列y(n)。解 n=1时，n=0时，n=-1时， n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n
8、)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-a n-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)68第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.5 模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理 方法。其原理框图如图1.5.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采
9、样定理和采样恢复。 69第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.1 模拟信号数字处理框图 70第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.5.1 采样定理及A/D变换器 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 。71第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.2 对模拟信号进行采样 72第1章 时域离散信号和时域离散系统 上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式： (1.5.1)(1.5.2) 73第1章 时域离散信号和时域离散系统 我们知道在傅里叶
10、变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积， 按照(1.5.2)式，推导如下： 设 (1.5.3) 按照(1.5.1)式，74第1章 时域离散信号和时域离散系统 式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，(1.5.4) (1.5.5)75第1章 时域离散信号和时域离散系统 上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。在图1.5.3中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。 76第1章 时域离散信号和时域离
11、散系统 图1.5.3 采样信号的频谱 77第1章 时域离散信号和时域离散系统 (1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期 进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c(fs2fc) ，那么让采样信号xa(t)通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c(fs2fc )会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。 78第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.5 A/DC原理框图 79第1
12、章 时域离散信号和时域离散系统 将模拟信号转换成数字信号由A/DC(Analog/DigitalConverter)完成，A/DC的原理框图如图1.5.5所示。通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看 作时域离散信号(序列)。设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据.80第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.8 D/AC方框图 1.5.2数字信号转换成模拟信号81
