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1、1 1、 （本题 5 分）试确定722作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 722=3.142857=1103142857.0=3.141592所以31210211021005.0001264.0722（ 2 分）这里，3,21,0nnmm由有效数字的定义可知 722作为的近似值具有3 位有效数字。（1 分）而相对误差限310210005.00004138.0001264.0722r（2 分）2、 （本题 6 分）用改进平方根法解方程组：654131321112321xxx；解设111111131321112323121321323121llldddlllLDLAT由矩阵乘
2、法得：57,21,21527,25,2323121321lllddd（3 分）由yDxLbLyT1,解得TTxy)923,97,910(,)563,7 ,4(（3 分）3、 （本题 6 分）给定线性方程组17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx1）写出 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；解1）Jacoib 迭代格式为2 7)2217() 8()2323(8)311(10)57()( 3)( 2)( 1)1( 4)( 4)( 2)( 1)1( 3
3、)( 3)( 1)1( 2)( 4)( 3)1( 1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx（2 分）Gauss-Seidel 迭代格式为7)2217()8()2323(8)311(10)57()1( 3)1( 2)1( 1)1( 4)( 4)1( 2)1( 1)1( 3)( 3)1( 1)1( 2)( 4)( 3)1( 1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx（ 2 分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵72211823038151010A是严格对角占优的，所以 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。 （2 分）4、 （本题 6
4、分）已知方程08.023xx在5.10x附近有一个根。将此方程改写成如下2 个等价形式：8.0,8.0332xxxx构造如下两个迭代格式：1）,2 , 1 ,0,8 .0321kxxkk2）,2,1 ,0,8 .03 1kxxkk判断这两个迭代格式是否收敛；解1）记328.0)(xx，则322)8.0(32)( xxx，14 7 5 5.005.31)5 .18.0(1)5.18 .0(35.12)5.1 ( 32322322（2 分）所以该迭代格式是局部收敛的。（1 分）2）记8.0)(3xx，则 8 .023)( 32xxx，1103.2 8.05 .125.13)5.1 ( 32（2 分
5、）3 所以该迭代格式是发散的（ 1分）5、 （本题 6 分）设23)()(axxf（1）写出解0)(xf的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解（1）因23)()(axxf，故)(6)( 32axxxf，由牛顿迭代公式)( )( 1 nn kkxfxfxx，, 1 ,0k（1 分）得kk kkk kkxaxaxxaxxx665)(6)(32231，, 1 , 0k（2 分）（2）因迭代函数2665)(xaxx，3365)( xax，（1 分）3*ax故021)(365)( 33*aax此牛顿迭代格式是线性收敛的。（2 分）6、 （本题 9 分）给定数据（1）写出)(xf的 3 次
6、Lagrange 插值多项式)(3xL；（2）写出)(xf的 3 次 Newton 插值多项式)(3xN；解（1）由题意知5, 3,2,03210xxxx2)(,4)(, 3)(, 1)(3210xfxfxfxf)()()()()()(302010321 03xxxxxxxxxxxxxfxL)()()()()(312101320 1xxxxxxxxxxxxxf)()()()()(321202310 2xxxxxxxxxxxxxfx 0 2 3 5 f(x) 1 -3 -4 2 4 )()()()()(231303210 3xxxxxxxxxxxxxf（3 分）)52)(32)(02()5)(3
7、)(0()3()50)(30)(20()5)(3)(2(1xxxxxx)35)(25)(05()3)(2)(0(2)53)(23)(03()5)(2)(0()4(xxxxxx)5)(3(21)5)(3)(2(301xxxxxx)3)(2(151)5)(2(32xxxxxx（2 分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表（3 分）则有)3)(2)(0( 51)2)(0(31)0(21)(3xxxxxxxN)3)(2(51)2(3121xxxxxx（1 分）7、 （本题 6 分）作一个5 次多项式)(xH使得2)4( , 1)2( ,2)1 ( 3)4(, 1)2(,3)1 (HHHHHH解构造有重节点
8、的牛顿插商表（4 分）则有)2()1(11)1(6)1(23)(22xxxxxH)4()2()1(3655)2()1(6252222xxxxx（2 分）0 1 2 323 41315 2 3 34511 3 1 3 2 2 1462 11 5 11 4 3 2 21236254 3 2 0 4112536555 8、 （本题 6 分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：ix0 1 2 3 4 5 6 iy15 14 14 14 14 15 16 解设xxyy3,14，则上表可化为ix3210 1 2 3 iy1 0 0 0 0 1 2 这时，取2 210)(,)(,1)(xxxxx，并设所求二
9、次多项式为)()()()(2* 21* 10* 0* 2xaxaxax，容易得到71),(332 00 i，0),(3310 iix，28),(332 20 iix28),(332 11 iix，0),(333 21 iix，196),(334 22 iix4),(330 iiyy，5),(331 iiiyxy，31),(332 2 iiiyxy（3 分）得正规方程组如下：31196285284287* 2* 0* 1* 2* 0aaaaa解得285,285,71* 2* 1* 0aaa即228528571xxy（2 分）回代得2)3(285)3(2857114xxy（1 分）9、 （本题 5
10、 分）给定求积节点, 43,4110xx试推出计算积分10)(dxxf的插值型求积公式解由于 43,41 10xx所以)34(2143 4143)(0xx xl（1 分）6 ) 14(21414341)(1xx xl（1 分）21)34(21)(101000dxxdxxlA（1 分）21)14(21)(101011dxxdxxlA（1 分）故求积公式为)43()41(21)(10ffdxxf（1 分）10、 （本题 6 分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：91dxx4n解（1）用梯形公式4n，2419h2277402.17)9()(2)1(2314fxffhT ii（3 分）（2）用辛普森
11、公式332087.17)9()(2)(4)1 (63130214fxfxffhSii ii（3 分）11 、（ 本 题8分 ） 求 高 斯 型 求 积 公 式)()()(110010xfAxfAdxxfx的 系 数.,1010xxAA及节点解令为权的二次正交多项式构造以xxxx)(,1 ,0, 1)(0：)()()()()()()(01122011xxxxxxx （1 分）由53),(),(102110210000 1 dxxxdxxx得53)(1xx再由5111111. 04523)53()53(),(),(10221210211111 2 dxxxdxxxxx（2 分）06857.0175
12、12)53(),(),(1021102210011 1 dxxdxxx（1 分）7 得23809666.011111.106857.0)53)(4523()(2 2xxxxx所以0)(2x的根为821159.0,289951.010xx（2 分）389112.0)(277555.0)(10010101110 1011000dxxxxxxdxxl xAdxxxxxxdxxl xA（ 2分）12、 （本题 6 分）设)(xf为k次多项式，nxxxx,210为1n个互异点，)(xLn为)(xf的n次插值多项式。若nk，试证)()(xfxLn。解：因为)(xf为k次多项式，所以，!)()(kxfk（2 分）又因为nk，故有0)()1(xfn（2 分）由插值关系可知：)()( )!1()()()(1)1( xLxnxfxLxfnnnn（2 分）所以，)()(xfxLn13、 （本题 10 分）设5335A，求21,AAA及谱半径)(A。解由定义得88,8m a x111maxniij njaA（2 分）88 ,8max11maxnjij niaA（2 分）又由于)(max2AAAT，而3430303453355335AAT（2 分）)4)(64(30)34(3430303422IAAT所以，8642A。（2 分）因为)2)(8(9)5( 53352IA8 所以8)(A（2 分）
