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1、线 性 代 数电子教案1第一讲阶行列式的定义及其性质主要内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义及其性质；排列对换、n阶行列式的第二种定义.基本要求： 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 知道n阶行列式的定义及其性质.2一、二阶行列式的引入第一节 2阶和3阶行列式用消元法解二元线性方程组两式相减消去 ，得3方程组的解为由方程组的四个系数确定.类似地，消去 ，得当 时，4二、二阶行列式的定义定义定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表即5二阶行列式的计算对角线法则主对角线副对角线对于二元线性方程组若记系数行列式6789则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方
2、程组的系数行列式.10解例例1 111三、三阶行列式的定义定义定义记记列标行标（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.12三阶行列式的计算对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式13利用三阶行列式求解三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式14若记或15记即1617得18得19则三元线性方程组的解为:20例例解解按对角线法则，有21例例3 3解解方程左端22例4 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式23同理可得故方程组的解为:24四、小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组 引入的.对角线法则 二
3、阶与三阶行列式的计算 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.25About DeterminantA determinant is a number that is assigned to a square array of number in a certain way. This idea was considered as early as 1683 by The Japanese mathematician Seki Takakazu And independently in 1693 by the German mathemati
4、cian Gottfried Leibniz, about 160 years before a separate theory of matrices developed. For many years, determinants appeared mainly in discussions of systems of Linear equations. 26一、有关概念第二节 全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位12 32种放法1种放法种放法.共有1. 概念的引入272. 全排列及其逆序数问题定义把
5、个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示.由引例同理28排列的逆序数在一个排列 中，若数 例如 排列32514 中， 定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序则称这两个数组成一个逆序.29定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数为零的排列称为标准排列.例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.逆序数为1逆序数为33. 排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.30分别
6、计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;二、计算排列逆序数的方法分别计算出排在 前面比它大的数 的个数，即分别算出 这 个元 素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所 排列的逆序数.方法1方法2313 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;32例2 计算下列排列的逆序数，并讨
7、论它们的奇 偶性.解此排列为偶排列.33解当 时为偶排列；当 时为奇排列.根据方法234解当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列.35三、小结3. 计算排列的逆序数的方法有两种1. 个不同元素的所有排列种数2. 排列具有奇偶性36一、概念的引入第三节 阶行列式的定义和性质三阶行列式说明（1）三阶行列式共有 项，即 项 （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积 （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列37列标排列的逆序数为偶排列奇排列例如列标排列的逆序数为38二、阶行列式的定义定义39第一定义式：40说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
8、程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;2、 阶行列式是 项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积;4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为41例题 例1 计算对角行列式分析解 在 阶行列式的定义中，行列式的元素 记作 ，记号 不仅代表一个数，还表明这个 数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示 它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式 中的位置标示出来从而得到乘积 中各元素的列标排列为 42即行列式中不为零的项为所以 只能等于 , 同理可得从而这个项为零，展开式中项的一般形式是43例 证明对角行列式44证明第一式是显然的,下面证第
9、二式.若记则依行列式定义证毕45例 计算上三角行列式分析 根据行列式的定义， 展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解当 时，此项等于零，因此对于当 时， 从而此项也等于零，因此46同理可得下三角行列式47例48三、行列式的第二种定义1. 对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不 动，这种做出新排列的手续叫做对换，将相邻两个 元素对换，叫做相邻对换.例如对换相邻对换492. 对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数； 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明503. 行列式的第二种定义对于行列式展开式的任意一项
10、其中行标排列 为自然排列，为列标排列的逆序数，交换 与 的位置得这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同 作了一次相应的对换：51由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此 它们逆序数之和的奇偶性没有改变.则 和 的奇偶性相同，从而这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行 标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定.当列 标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个 新的排列，设为 ，其逆序数为 ，则52定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的 逆序数.第二种定义式53四、行列式的性质记行列式称为行列式的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等 .说明此性质表明，行列式中的行和列具有
11、同等的地 位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ， 反之亦然.证明54性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式等于零.证明性质3 证明行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数 ,等于用数 称此行列式.性质4推论行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面.举例55性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数 之和，例如第 列的元素都是两数之和：则 等于下列两个行列式之和：说明 此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆 成两个行列式. 56性质6 把行列式
12、的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列（行）对应的元素上 去，行列式的值不变.例如以数k乘第1列加到第3列57五、小结1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的.2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同 行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.3、行列式共有6条性质和两条推论.58思考题2、分别用两种方法求排列16352487的逆序数. 1、求一个二次多项式,使3、已知,59思考题解答思考题解答1、解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数 的线性方程组, 又得故所求多项式为602、解用方法11 6 3 5
13、 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.613、解含 的项有两项,即对应于又62作业： P26 1. (2)(4)2. (1)(3)(5)(6)3.63定理1的证明先证相邻对换的情形.设排列为变为这些元 素的逆序数经过对换并不改变，而 两元素的逆 序改变为：当 时，经过对换后 的逆序数增 加1而 的逆序数不变； 当 时，经过对换后 的逆序数不变而 的逆序数减少1. 所以这两个排列 的奇偶性不同. 再证一般对换的情形.64邻对换，变成次相邻对换，变成 总之，次相邻对换，排列变成排列所以这两个排列的奇偶性不同. 把它作 再作经 返回次相65性质1的证明记则根据定义根据第二种定义返回下标不表示在行 列式中的位置66性质2的证明对换 两行得到则当 时，当 时，于是67这时，行标排列 为自然排列，列标排 列为而 为排列 的 逆序数，设排列 逆序数为 ，则返回68以数 乘第四行的各 元素加到第一行：(1)(2)返回69性质3的证明记则当 时，当 时，于是返回70
