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1、指数模型于套利定价理论 CAPM模型有如下的缺陷： 1、假定条件； 2、市场组合的风险计算； 3、市场风险只用一个因素表现，过于集中。 本章介绍指数模型及套利定价理论APT （Arbitrage pricing theory）单指数模型 一些投资者认为证券的回报率有某一个 因素决定。年GDP的增长率 （%）通货膨胀率（% ）公司I股票的收益 率与rf的差（%） 15.71.114.3 26.44.419.2 37.94.423.4 47.04.615.6 55.16.19.2 62.93.113.0单指数模型 设ri-rf=i+ iE(G)+ei 在这里，我们假定证券i的风险补偿由GDP的增
2、长率主要决定，（注意：还可考虑通胀率等你 认为必要的因素）。无风险利率为常量（外生 变量） 这里 ri,G和ei为随机变量。 i， i为回归系数 ，G对应整个市场的系统风险因素，因此ei对应 企业的个体风险，其期望值为零。单指数模型 我们有： 显然， i表示GDP的预期增长率为0时股票预 期的风险补偿， i表示公司I股票的预期风险补 偿对GDP的预期增长率的敏感度。通过线性回 归分析， i=4%， i=2，在例子中，第六年 GDP的增长率为2.9%，股票的实际风险补偿为 13%，有3.2%（13%-（4%+2*2.9%）的股票 风险补偿。来自公司自身的贡献。单指数模型 我们来看其的收益方差：由
3、于ei与G不相 关，有： 其中前面一项反映了系统风险，后面一 项则是非系统风险，利用统计方法可以 计算出股票收益的方差为0.00272。单指数模型 如果有另外一家公司j，它的贝塔值为j 则两家公司的风险补偿的斜方差为： 这样，当我们考虑组合的斜方差矩阵时 ，计算量要小的多。市场模型 当我们用有风险资产的市场组合的风险 补偿为指数时，有： 显然M=1，于是： 于是：市场模型 我们有： 与CAPM比较， i多了出来，它应是证券 收益率超出市场均衡收益率的部分，当 市场处于均衡状态时，应有i=0。可以击败市场的组合 如果可以找到一项共同基金，它的运作 水平使A 0,这时A的会位于SML的上面 ，我们
4、有；A与M的组合边界不会在M的 与CML相切；同时A也不会落在有效组 合边界上。这样A与M的组合边界与有效 组合边界相交。如下图：MA可以击败市场的组合 这时所有投资者可得到更多的效用，因 此如果能找到0的 投资组合，就能够击败市场。因此，一个好的指数可以给我们带 来可能的击败市场的机会，同时作为有 风险市场组合的替代品，成为有风险资 产定价的基础。多指数模型 模型假设： 方差为：套利概念的深化 套利就是投资者利用市场的暂时失衡，来无风 险的套利。参看教材P5556页 收益与风险权衡所主导的市场均衡，一旦价格 失衡，就会有许多投资者构造调整自己的投资 组合来重建市场均衡，但每位投资者只对自己
5、的头寸作有限范围的调整。套利则不然，一旦 出现套利机会，每一位套利者都会尽可能大的 构造自己的套利头寸。因此从理论上讲，只需 要少数的套利者就可以重建市场均衡。套利定价理论 单因素的套利定价理论APTarbitrage pricing theory,理论模型为： 这里ri、ei、和F是随机变量，为宏观因素的 实际值，它的预期值为，因此应为对实际 值的偏离。 ei的预期值同样为，由于其反映 的是企业风险，所以不同资产的ei不相关。在 这里，系统风险与非系统风险完全分离，所以 与ei也是不相关的。 对于风险充分分散化的投资组合来说 有： 由于是完全分散化的组合，因此 （）应该为，所以=0，因此 有
6、：APT 在无套利条件下我们有：1、如果两个充 分分散化的投资组合的贝塔值相等，则 它们的期望收益率一定相等；2、对于不 同贝塔值的充分分散化的投资组合，其 预期收益率的风险补偿必须正比与贝塔 值。APT 说明：例如：如果充分分散化的投资组 合A和B，其贝塔值都为1.0，A的期望收 益率为10%，B的收益率为8%，我们卖 空100万元的证券B，同时将100万元投资 于证券A，这时到期的组合收益率为： （10%+1.0*F）*100-（8%+1.0F）100=2万元，出现了无风险套利机会。APT 图形分析：假定有有一充分 分散化的投资组 合C，其贝塔值 为0.5，期望收 益率为6%与宏观因素有关
7、的 贝塔值APT 如果以M的未预期到的收益的变化作为 系统风险的度量，则M的贝塔值为1，我 们有：APT 对于任意两个充分分散化的投资组合P和 Q，有： 同时套利定价理论还证明了，对于组合 中的任意两个不同的证券来说，上面的 关系几乎也成立。证明参阅数学附录。APT APT的优越性：APT模型不需要CAPM中 的各种假设；另外，CAPM中，我们必 须根据有风险市场组合才能得到CML和 SML，这里M是定价的基础；APT允许 任何一个充分分散化的投资组合作为基 准。这样任何指数化的投资组合都可以 用来为证券定价。多因素的套利定价理论 在实践中，更有用的是多因素的套利定价理论 。下面我们以两因素的
8、APT为例来介绍该理论 。这里假设： 其中F.可以是某几个宏观因素对其预期值的偏 离，F1、F2、ei都不相关，ei、ej也不相关。多因素的套利定价理论 因素组合：风险完全分散化，对其中一个的贝 塔值为1，对其它因素的贝塔值为0。它是定价 的基准。 多因素的APT指出：如何一个完全分散化的投 资组合A的风险补偿应当是投资者承受这两种 宏观因素的所应得到的风险补偿的和。而每种 宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素 的贝塔值乘以因素组合的风险补偿，即有：多因素的套利定价理论 比如，无风险利率为4%，因素组合1和2的预期 收益率分别为10%和12%，A对两个宏观因素 的贝塔值分别为0.5和0.7
9、5，这时A的风险补偿 为：0.5*（10%-4%）+0.75（12%-4%）=9% 于是A的预期收益率为4%+9%=13%，如果A的预 期收益率为12%，这时就可无风险套利。套利头寸可取50%的因素组合1和75%的因素组合2以 及-25%的无风险证券，这个组合的预期 收益率为： 105*10%+0.75*12%-0.25*4%=13% 同时组合作多头组合A作空头，可套取无 风险利润为：13%+0.5*F1+0.75*F2-（ 12%+0.5F1+0.75*F2）=1%APT和CAPM的比较CAPM是APT的特例。 APT强调无套利原则，CAPM是收益与风险权衡 所主导的市场均衡，因此APT不需
10、要CAPM的 有关条件。 APT只需要完全分散化的投资组合 APT的定价并不是对所有的证券都成立。在实际 中，APT主要组合投资决策起决定作用，对于 单项资产的定价，更多的应使用CAPM和单指 数模型。 因素的确定 有人对证券的回报率进行了研究，估计 一般需要3-5个因素，紧接着，有许多人 试图确定这些因素。比如：陈罗尔和罗 斯在他们的论文中，确定了下列因素： 1、工业产值增长率 2、通货膨胀率 3、长期和短期利率的差额 4、低级和高级债券的差别因素的确定 所罗门公司所用的5个因素： 1、通货膨胀率 2、国民生产总值 3、利率 4、石油价格变化率 5、国防开支增长率因素的确定 综合来看，我们考
11、虑的因素应该包括：1 、总体经济活动指标（工业产值、总销 售和国民生产总值）；2、通货膨胀；3 、一些类型的利率因素（或差额或利率 本身）。这是因为考虑到，证券的价格 被认为是未来红利的贴现值，通过因素 来实现这个关系。未来红利将与总体经 济活动相联系，而贴现率将与通货膨胀 和利率有关。小结 APT与CAPM一样是一个证券价格的均衡模型 ； APT与CAPM比较，APT需要较少的关于投资 者偏好的假设 APT假设回报率由因素模型生成，但并不具体 确定因素。 一个套利组合中包括做空和做多的证券。它的 总市值必定为零，对任何因素无敏感性，且有 正的预期回报率。 投资者投资于套利组合，使得做多证券的
12、价格 上升，使得做空证券的价格下跌，这到套利可 能性消失小结 当所有的套利可能消失后，证券的均衡 预期回报率将成为它的因素敏感性的线 性函数。 APT没有说明影响回报率的因素数量和 因素本身是什么。大部分研究中，因素 集中于总体经济活动、通货膨胀和利率 指标上。作业 1、根据单因素模型，有两个组合A和B，均衡期 望收益率分别为9.8%和11.0%。如果因素敏感性 分别为0.80和1.0，求无风险利率？ 2、根据单因素的APT，设无风险利率为6%，一 个具有单位因素敏感性的投资组合期望收益率为 8.5%。考虑具有下列特征的两种证券的一个投资 组合： 根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率为多少？证券因素敏感性比例 A4.00.30 B2.60.70作业3、设一个单因素模型的形式为：考虑3个完全分散化的投资组合，因素的期望值为8%。那一个组合不在因素模型关系的直线上？请你由其它两个组合构造 一个组合使得与线外的组合具有相同的敏感性？这样的一个组合 的收益率是多少？你希望投资者对这三个组合采取什么行动？投资组 合因素敏感性期望收益率（%）A0.8010.4 B1.0010.0 C1.2013.6
