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1、选修4-1 几何证明选讲第一节 相似三角形的判定及有关性质【知识梳理】1.平行线等分线段定理名 称条 件结结 论论 定 理一组组平行线线在一条直线线 上截得的线线段相等在其他直线线上截得的线线段也_ 推论论1经过经过 三角形一边边的中点 与另一边边平行的直线线_第三边边推论论2经过经过 梯形一腰的中点,且 与底边边平行的直线线_另一腰相等平分平分2.平行线分线段成比例定理(1)定理:三条平行线截两条直线,所得的_成比例.(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_.对应线段成比例3.相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定:定义:对应角_,对应边_的两个三
2、角形叫做相似三角形.预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)_,所构成的三角形与原三角形_.相等成比例相交相似判定:条 件结论结论 任意 三角形两角对应对应 _两个三角 形相似 两边对应边对应 _且夹夹角_三边对应边对应 _直角 三角形有一个锐锐角对应对应 _两个直角 三角形 相似两条直角边对应边对应 _斜边边和一条直角边对应边对应 _相等成比例相等成比例相等成比例成比例(2)相似三角形的性质:对应对应 量的比值值与相似比的关系 对应对应 高、中线线、角平分线线、周长长 ,外接圆圆的直径、周长长等于相似比面积积比、外接圆圆的面积积比等于相似比的平方4.直角三角形的射影定理定
3、理:直角三角形斜边上的高是_的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_.两直角边在斜边上射影比例中项【小题快练】1.(2015牡丹江模拟)如图,正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上, AE=BE,则有 ( )A.AEDBED B.AEDCBDC.AEDABDD.BADBCD【解析】选B.在正三角形ABC中, AE=BE,在AED与CBD中,A=C,故AEDCBD.2.(2014广东高考)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则 = .【解析】显然CDFAEF,则答案:33.(2015长沙模拟)如图,D是ABC中BC边上一点,点E,F分别是
4、ABD,ACD的重心,EF与AD交于点M,则 = .【解析】连接AE,AF,并延长交BC于G,H.因为点E,F分别是ABD,ACD的重心,所以 =2,所以EFGH,所以 =2.答案:24.(2015中山模拟)如图,在梯形ABCD中,ADBC,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EFBC,若AD=12,BC=20,则EF= .【解析】由题意ADEFBC,则AODCOB,则则 则EO= 同理FO=20 则EF=15.答案:15考点1 平行线分线段成比例定理【典例1】如图,将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边上的点E,使DE=5,折痕为PQ,求【解题提示】过点M作
5、平行线构造平行线段组.【规范解答】如图所示,过M作MNAD交DC于N,所以又因为AM=ME,所以DN=NE= DE= .所以NC=NE+EC= +7= .因为PDMNQC,所以【规律方法】平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用.(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线,要结合条件构造平行线组,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题.【变式训练】如图,AD平分BAC,DEAC,EFBC,AB=15cm,AF=4cm,求BE和DE的长.【解析】如图,因
6、为DEAC,所以3=2.又AD平分BAC,所以1=2.所以1=3,即AE=ED.因为DEAC,EFBC,所以四边形EDCF是平行四边形.所以ED=FC,即AE=ED=FC.设AE=DE=FC=xcm.由EFBC得 即解得x1=6,x2=-10(舍去).所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).【加固训练】如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BEDF,AD=DC,求证:四边形ABCD是菱形.【证明】因为DFBE,所以DFA=BEC.因为CF=AE,EF=EF,所以AF=CE.在ADF和CBE中,因为DF=BE,DFE=BEF,AF=EC,所以ADF
7、CBE(SAS),所以AD=BC,所以DAC=BCA,所以ADBC,所以四边形ABCD是平行四边形.因为AD=DC,所以四边形ABCD是菱形.考点2 相似三角形的判定与性质【典例2】如图,ABC中,BAC=90,ADBC交BC于点D,若E是AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于F,求证:【解题提示】利用DBFADF,RtABDRtCBA进行比例式的转化证明.【规范解答】因为E是RtADC斜边AC的中点,所以AE=EC=DE.所以EDC=ECD,又EDC=BDF,所以EDC=C=BDF.又ADBC且BAC=90,所以BAD=C,所以BAD=BDF,所以DBFADF.所以又RtABDRtCBA,
8、因此所以【规律方法】证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等.(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例.(3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.【变式训练】如图,在ABC中,BAC=90,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点(不与B,C重合),EFAB,EGAC,垂足分别为F,G.(1)求证:(2)FD与DG是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.(3)当AB=AC时,FDG为等腰直角三角形吗?并说明理由.【解析】(1)在四边形AFEG中,因为FAG=AFE=AGE=90,所以四边形AFEG为矩形,所以AF=EG.根据题意易证ADCEGC
9、,所以(2)FDDG.证明过程如下:因为ABC为直角三角形,ADBC,所以FAD=C.又由(1)可知,所以AFDCGD,所以ADF=CDG.又CDG+ADG=90,所以ADF+ADG=90,即FDG=90,所以FDDG.(3)当AB=AC时,FDG是等腰直角三角形.理由如下:因为AB=AC,BAC=90,所以AD=DC.又因为AFDCGD,所以 =1,FD=DG.又FDG=90,所以FDG为等腰直角三角形.【加固训练】已知ABC中,BFAC于点F,CEAB于点E,BF和CE相交于点P,求证:(1)CPFBPE.(2)EFPBCP.【证明】(1)因为BFAC于点F,CEAB于点E,所以BFC=C
10、EB.又因为CPF=BPE,所以CPFBPE.(2)由(1)得CPFBPE,所以又因为EPF=BPC,所以EFPBCP.考点3 直角三角形中的射影定理【典例3】如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC,DGBE,F,G分别为垂足.求证:AFAC=BGBE.【解题提示】利用射影定理表示出AD,BD,再利用AD=BD证明.【规范解答】因为CD垂直平分AB,所以ADC=BDC=90,AD=DB.在RtADC中,因为DFAC,所以AD2=AFAC.同理BD2=BGBE.所以AFAC=BGBE.【规律方法】对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影.(2
11、)要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式.(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.【变式训练】如图,在ABC中,C=90,BAC的平分线AD交BC边于D,求证:【证明】过C作AD的垂线,垂足为E,CE的延长线交AB于F,则由射影定理得AC2=AEAD,过E作EGBC交AB于G.因为CAD=BAD,AECF,所以CE=EF,所以BC=2EG,所以【加固训练】如图所示,在ABC中,CAB=90,ADBC于D,BE是ABC的平分线,交AD于F,求证:【证明】由三角形的内角平分线定理得,在ABD中,在ABC中,在RtABC中,由射影定理知,AB2=BDBC,即由得:由得:
