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1、 插值方法的应用 代数插值问题 线性插值与二次插值公式 拉格朗日插值公式数值分析 13引例1.正弦函数 sin x 的计算问题2/18(1) 线性函数逼近 y0 = x(2)泰勒级数逼近y1(x)= x x3/3! + x5/5! (3)抛物线逼近y2=4x( x)/2(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用:3/18引例2. 误差函数x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205
2、0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000当 x(0.5, 1)时当 x(1, 1.5)时4/18已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)则称 P(x) 为 f(x) 的 n 次代数插值多项式. 称 x0, x1, , xn为 插值结点; 称 f(x) 为被插值函数. 如果 P(x)=a0 + a1x + anxn满足: P(xk)= yk (k = 0,1,n)设 f(x)C a , b, 取点 a x0x1xnb代数插值问题插值函数插值条件5/18点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,n) 的n次插值多项式P(
3、x)=a0 + a1x + anxn 存在而且是唯一的。证明: 由插值条件 P(x0)= y0 P(x1)=y1 P(xn)=yn定理5.1 若插值结点x0,x1,xn 是(n+1)个互异6/18方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.例5.1 已知误差函数在四个点处函数值x 00.60001.20001.8000Erf(x) 00.60390.91030.98917/18构造3次多项式P(x) 逼近 Erf(x) 设P(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3, 令 P(xk)=Erf(xk)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -
4、0.5099,a3=0.0538所以, P(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x38/18x=0:.6:1.8; y=erf(x); x=x;y=y; A=ones(4,1) x x.2 x.3; p=Ay; a0=p(1);a1=p(2); a2=p(3);a3=p(4); t=0:.2:2; u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3; plot(x,y,o,t,u)MATLAB数值实验9/18过两点直线方程求满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1的线性函数 L(x)已知函数表x x0 x1f(x) y0 y1例 求 的近似值六位有效数10.72381
5、0/18记当x0 x x1时0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x1l0(x) 1 0 l1(x) 0 1y0 y1 = 1 0y0 + 0 1y1线性插值函数 的对称形式11/18二次插值问题x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2已知函数表求函数 L(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:L(x0)=y0 , L(x1)=y1, L(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0x1x
6、2 l0(x) 1 0 0l0(x) 100 l1(x) 010 l2(x) 0 0 1 L(x) y0y1y2xx0 x1x213/18二次插值基函数图形取 x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 1l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)= 4 x(x 1);l2(x) = 2(x 0.5)x14/18二次插值的一个应用极值点近似计算二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式15/18拉格朗日插值公式插值条件:L(xk)= yk (k = 0,1,n)其中,第k (k=0,1,，n)个插值基函数或:16/18Runge反例:
7、, (-5x5)L10(t)f(t)f(x)取xk= 5+k 计算: f(xk) (k=0,1,10) 构造L10(x).取:tk= 5+0.05k (k=0,1,200),计算: L10(tk)17/18x=-5:5;y=1./(1+x.2); t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t); for i=1:nz=t(i);s=0;for k=1:11Lk=1;u=x(k);for j=1:11if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j); endends=s+Lk*y(k);endy2(i)=s; end plot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r) 18/18
