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1、摘 要自旋系统中,对高温下有外场作用的SK模型的讨论是一项基本的研究.本文主要讨论如何将由Comets和Neveu在文献3所介绍的随机分析法更深入的推广到自旋玻璃的高温下有外场作用的SK模型中,通过应用这种方法我们得到一些结果.主要工作如下:一、 我们讨论了得出主要结论所需要的一些必备结果,比如说高温下有外场作用的SK模型中Hamilton函数平均Et(HN,t()以及相关的一些结果.二、 我们对高温下有外场作用的SK模型中能的涨落结果作了重点的研究,通过随机分析法得到能的渐近结果.关键词:自旋系统; SK模型;外场;能; Hamilton函数;随机分析法.iiAbstractIn spins
2、ystems, the discussion of the SK model with external field at high temperatureis a basic research. In this note we show how to generalize the stochastic calculus methodintroduced by comets and Neveu 3 for the SK model with external field of spin glassesat high temperature in more depth and we derive
3、 some results by this method. The mainwork is as follows:Firstly, we discussed the necessary results which is needed to derive the main conclu-sions, for example, the average of Hamiltonian Et(HN,t() and related results of theSK model with external field at high temperature.Secondly, we will focus o
4、n the fluctuation result of the energy of the SK model withexternal field and we derive the asymptotic result of the energy by the stochastic calculusmethod.Keywords:Spin system;SK model; External field; Energy;Hamiltonian; Stochasticcalculus method.iii独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，
5、除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：关于论文使用授权的说明本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的论文在解密后 应遵守此规定）签名:导师签名:日期:i 1前言在本文中, 我们所知道的统计力学中“非无序”的知识将与本文无关. 无序
6、(即随机) 的特征将占主导地位. 在物理学中,“spin”即是自旋, 它指粒子的内禀角动量, 也就是粒子即使处于静止状态也仍具有的那部分角动量, 以区别于轨道角动量. 而“spinglass”则称为自旋玻璃, 它是浩如烟海的物质中的一类, 这类物质含有相互作用的原子磁矩并具有一定形式的无序, 但它并没有随着热力涨落演变, 物理学家称之为“冻结”. 这里“glass”意味着冻结无序.物理学家在 spin glass 均值场模型中的工作以及文献 15 充分说明, 他们已经建立了一系列理论, 并且将这些理论应用于他们所引入的模型当中. 值得注意的是, 上述理论也可被用于概率中大量感兴趣的问题.近些年
7、来, 通过对 cavity method 以及 replica method 等方法的引入和形式化, 一些数学工作者由标准化常量 ZN和交叠 R1,2得到了许多极限定理: 文献 9 中关于 R1,2的自平均性质, 以及1 Nlog(ZN) 的极限; 文献 5,13 中 ZN涨落的中心极限定理; 文献 10,14 中对于交叠 R1,2的大变差原理.1995年, Comets 和 Neveu 首次在文献 3 中用布朗运动代替高斯轨道, 将随机分析法运用到自旋玻璃的均值场 SK 模型中, 简化了冗长的计算并得到相关的渐近结果. 而后, 2005年, Samy Tindel 在文献 1 中将这种方法推
8、广到有外场作用的 SK 模型中, 并得到自由能的一些涨落结果.按照麦克斯韦 (Maxwell) 理论, 物体所具有的能量是它能够对外做功的能力量度. 在热力学范畴表现为系统的内能. 内能为物质的一种状态能量, 是热力学第一定律中引进的系统状态的一种特性, 它在物理中具有重要的地位. 宏观平衡态是一种动态平衡, 而涨落现象则指, 处于平衡态的系统总是发生着随机性的偏离平衡态的变化, 它是大数粒子的一种统计平均性的行为, 也是宏观系统的一种统计规律性.同样地, 我们这里将继续沿用 Comets 和 Neveu 的方法, 利用随机分析工具, 讨论有外场作用的 SK 模型中 Hamilton 函数平均
9、的一些相关结果以及内能的渐近结果. 这将使我们进一步了解有外场作用的 SK 模型中热力学量的渐近状态.1 1 前言本文将作如下介绍: 在第一节中, 我们将介绍得出主要结论所需要的一些预备知识, 它是我们了解所做工作必备的基础知识; 在第二节中, 我们讨论高温下有外场作用的 SK 模型中 Hamilton 函数平均的一些相关结果, 主要目的就是为更好的研究热力学中的“能”提供必要的保障; 最后, 在第三节中, 我们将重点研究高温下有外场作用的 SK 模型中内能的涨落结果, 它为今后研究 spin glass 提供更广阔的思路.2 2预备知识本节我们主要介绍一些必要的概念和事实.2.1随机分析基础
10、知识设 (,F,P) 为完备的概率空间, 随机过程 X(t,) 是定义在 0, 上的可测函数. 为方便起见, 随机过程 X(t,) 也可记作 X(t) 或 Xt. 代数流 Ft 由 Ft=Xs; s 6 t 给出.下面我们引入关于随机分析的一些概念.定 义 2.125设 F 为 上 的 一 代 数, 称 (,F) 为 一 可 测 空 间, F 中 的 元 称为 F 可测集.定义 2.225设 (,F) 及 (E,) 为两个可测空间, f 为 到 E 中的映射(简记为 f : E). 如果对一切 A , 有 f1(A) F, 则称 f 为 F 可测映射.定义 2.318我们称随机过程 B(t,)
11、 为布朗运动, 如果它满足下列条件:(1) P; B(0,) = 0 = 1.(2) 对一切 0 6 s 代替等号, 则分别称 Xt是关于 Ft 的下鞅或上鞅.定义 2.66设 Xt,t R+是右连续鞅. 如果 Esup(|Xt|2) 1, 考虑空间 N= 1,1N. N上的 = (1, ,N) 称为一个构形.i= 1,1 6 i 6 N. 这里, 我们有取遍所有可能构形 的随机变量 HN() 的集合. 函数 HN叫做哈密尔顿 (Hamilton) 函数. 在物理学中, HN() 代表构形 的“能量”. 由“无序性”我们知道, 能量 HN() 是随机的.N上的随机测度由如下 Hamilton
12、函数产生:HN() = N1/2Xi 0 (在物理学中 代表逆温), gi,j;1 6 i 1, 设函数 f : nN R, 如果(f) = ZnNX1,nNf(1, ,n)expnXl=1HN(l).则称 (f) 为测度 GnN下 f 的平均.由上式可以看出, 高温(即 足够小)状态下, 如果能讨论随机变量 ZN和 R1,2(即 1和 2的交叠) 的渐近性态, 我们就能通过这种经典的 SK 模型本身的基本特征来了解此模型. 这里R1,2=1 NXi6N1i2 i,6 2 预备知识其中 1和 2是 GN下的两个独立构形.设 Bi,j;1 6 i 1 是两个独立布朗运动的集合, i;i 1 是一
13、族独立的标准高斯随机变量, 它们都被定义在完备的概率空间 (,F,(Ft)t0,1,P) 上,并且假设所有的 Bi,j, Wi都是 Ft适应的, 所有的随机变量 i都是 F0可测的. 对 i 1, 设 Xi是如下随机微分方程的唯一解7Xi(t) = iZt0Xi(s) 1 sds + Wi(t),t 0,1.(4)容易看出, 令Xi(t) = Xi(1 t), 过程 Xi(t);t 0,1 是关于它的自然 代数流的布朗运动. 因此, Xi可看作是一个逆时布朗运动. 在本文中, 如果 Y 是平方可积连续鞅, Y 就代表 Y 的平方变差过程. 首先给出下面引理:引理 2.21设 k 1, X =
14、(X1,.,Xk), 其中 Xi是方程 (4) 的解, : RkR 是 C2函数, 并且它的前两阶导数的增长速度至多为指数函数. 设 = (1,.,k), 则对 t 0,1, 有E(X(t) = E() 1 2Zt0EM (X(s)ds.(5)现在回到插值 Hamilton 函数, 文献 8 中定义,HN,t() = t NXi 0. 而其随机分析形式为:Bt+ rX1t,t 0,1.(8)其 中, B 和 X 是 两 个 独 立 的 布 朗 运 动. 但 反 方 向 运 动 的 这 两 个 布 朗 运 动 是在 h 6= 0 情况下 Comets-Neveu 方法推广的障碍. 为了克服这个困
15、难, 我们援用下一事实, X1t;t 0,1 可以看作是具有分部积分性的随机微分方程的解. 然后, 对所求量的涨落运用 It o 公式得到它的渐近结果. 因此, 我们得到轨道相对应的随机分析形式7 2 预备知识的 Hamilton 函数. 定义, 对 t 0,1,HN,t() = N1/2XijBi,j(t)ij+ q1/2Xi6NXi(t)i+ hXi6Ni,(9)这里, q 是交叠的 L2极限, 也即是隐式方程q = Etanh2(q1/2Y + h)(10)的解, 其中 Y 是标准高斯随机变量. 令ZN(t) =XNexp(HN,t(),(11)并且对于 f : nN R, 设t(f) = (ZN(t)nX1,.,nNf(1,.,n)exp(nXl=1HN,t(l).(12)为了得到内能的涨落结果, 下面的基本关系必不可少.命题 2.11设 h, q 如上定义, L 为独立于 N 的常数, 存在 0, 满足 6 0,则对 t 0,1, 有Et(R1,2 q)2) 6L N,其中, E 是 (,F,(Ft)t0,1,P) 上的期望.推论 2.113满足命题 2.1 中条件,
