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1、选修4-4 坐标系与参数方程Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4 一.坐标系 在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要 求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置
2、，我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。知识回顾:直直角角坐坐标标系系:每个点都有一个独一无二的坐标，直角坐 标系在平面上可以伸缩变换。它是最常用的坐标系，但是它并不是用数来刻画点的 位置的唯一方法。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyr
3、ight 2004-2011 Aspose Pty Ltd.二.极坐标系例如:当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的 是目标的方位，即方向和距离。在日常生活中 ，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离 和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基 本思路。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-
4、2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4 1.平面上点的极坐标在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一 个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)， 合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。平 面上任一点P的位置可以由线段OP的长度 和从Ox到 OP的角度来刻画。这两个数组成的有序数对( ， )称 为点P的极极坐坐标标。 称为极极径径， 称为极极角角。 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3
5、.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例1:在同一个极坐标系中，画出以下点:DAB Cx OEvaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspo
6、se.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4由此可见，平面上的点与它的极坐标极坐标不是不是一一对应关系一一对应关系。这是极 坐标与直角坐标的不同之处。点 关于极极轴轴的的对对称称点点是 ， 关于极极点点OO的的对对称称点点 是。 在极坐标 中，一般限定 。当 时， 就与极点重合，此时 不确定。给定点的标 ， 就唯一地确定了平面上的一个点。但是，平面上的一 个点的极坐标并不不是是唯唯一一的，它有无无
7、穷穷多多种种表示形式 ，事实上， 和 代表同一个点，其 中k为为整整数数。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4我们也可以允许 ，此时极坐标 对应的点M 的位置下面规则
8、确定:点M在与极轴成 角的射线的反向 延长线上，它到极点O的距离为 ，即规定当 时，点M 就是点M 。2.极坐标与直角坐标的关系极坐标系和直角坐标系是平面上的两种不同的坐标系。 平面上的点可以表示为极坐标也可以表示为直角坐标。MOxEvaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspo
9、se Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为( ， )，由图可知下面的关系式成立:或顺便指出，上式对 也成立。xyOM(x,y)以上为直角坐标和极 坐标的变换公式。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. C
10、opyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4解:用坐标变换公式得，例2:把点M的极坐标( 2 ， )化为直角坐标形式。即M的直角坐标为( -1， )例3:把点M的直角坐标(1，-1)化为极坐标形式(限定 ， )( 为第四象限角)Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.
11、5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4 三.曲线的极坐标方程 我们把直角坐标方程常称为曲线的普通方程 。例4:极坐标方程 表示什么曲线？解:方程 中不含变量 。这表明不论 取何值，极 径 恒为1，因此这是以极点为圆心，以1为半径的圆 。显然，坐标(1， )满足方程，以(1， )为坐标的点在此圆 上。而在此圆上的坐标也满足方程 。 四.圆的极坐标方程在直角坐标系和极坐标系中，表示圆的方程形式是不 同的。Evaluation only.
12、Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4 1.圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点(a，0)处，且圆过极点O。P为圆与极 轴的另一交点，M( ，)为圆上的动点，连接OM和MP ，由平面几何知识知道O
13、MMP。在直角三角形OMP 中，由三角知识可得M( , ) Oa XEvaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例5:写出圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐 标方程，并把它化为直角
14、坐标方程。解:由上面的公式可得该圆的方程为，Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.选修4-4OX2a M( , ) P2.圆心在点( a ， )处且过极点的圆圆与射线 的交点为P
15、( 2a ， )。在圆上任取一点M( ， )，连接OMMP。在直角三角形OMP中，由三角知识可得 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例6:写出圆心在点(2， )处且过极点的圆的极坐标方程 ，并把它化为直角坐标方程。解:由上面的公式可得该圆的方程为， Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profil
