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1、第三章 导导数与定积积分第1节节 导导数的概念与运算考纲解读考纲解读1. 利用导数的定义求一些简单 函数的导数.2. 利用求导公式与求导法则求函数的导函数.3. 利用导数的几何意义求切线斜率和切线方程，这也是高考的热点 问 题. 知识点精讲知识点精讲一、基本概念1. 导导数的概念设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限，即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫函数 在 处的导数，记作或 .即2.导导数的几何意义义：函数在这这定点处处的切线线斜率函数 在 处的导数 ，表示曲线 在点 处的切线 的斜率，即 ，如图3-1所示. 过点 的切线方程为 . 同样可以
2、定义曲线 在 的法线为过 点 与曲线 在 的切线垂直的直线. 过点 的法线方程为 .3. 导导数的物理意义义:瞬时时速度 .设 时刻一车从某点出发，在 时刻车走了一定的距离 . 在 时刻到 时刻，车走了 ，这一段时间里车的平均速度为，当 与 很接近时，这个平均速度近似于 时刻的瞬时速度.若令 ，则可以认为 ，即 就是 时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式表， 为正整数， 为有理数三、导导数的运算法则则(和、差、积积、商)设 ，均可导，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示 题型39 导数的定义【例3.1】 设 存在，求下列各
3、极限.（1）；（2） .【分析】 ，导数的定义中，增量 的形式是多样的，但不论 选择哪种形式， 必须选择相应 的形式. 利用函数 在点 处可导的条件，可以将已知 极限变形转化为导数定义的结构形式.【解析】 (1) (2)题题型40 求函数的导导数【例3.2】 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .【解析】(1) ；(2)；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .【评注】对于基本初等函数（指、对、幂、三角函数），可以直接根据导 数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.题型41 导数的几何意义【例3.5】
4、设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 （ ）.A. B. C. D.【分析】根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线 在点 处切线的斜率的范围是 ，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可.【解析】 ，由于曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为 ，根据导数的几何意义，得 ，即 故选A.【评评注】函数 在某点处的导数、曲线 在某点处切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题中要善于在这三者之间转 化.第2节节 导导数的应应用考纲解读考纲解读1. 1.了解函数的了解函数的单调单调 性和性和导导数
5、的关系，能利用数的关系，能利用导导数研究函数的数研究函数的单调单调 性性， 会求函数的会求函数的单调单调 区区间间（其中多（其中多项项式函数一般不超式函数一般不超过过三次）三次）. .2. 2.了解函数在某点取得极了解函数在某点取得极值值的必要条件和充分条件；会用的必要条件和充分条件；会用导导数求函数求函数的极大数的极大值值、极小、极小值值；会求；会求闭闭区区间间上函数的最大上函数的最大值值、最小、最小值值. .3. 3.生活中的生活中的优优化化问题问题 ，会利用，会利用导导数解决某些数解决某些实际问题实际问题 . .知识点精讲知识点精讲基本概念与性基本概念与性质质质质1.利用导数的符号判断函
6、数的单调性一般地，函数的单调性与其导数正负有如下关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减. 2.函数极值的概念设函数 在点 连续且 ，若在点 附近的左侧，右侧 ， 则 为函数的极大值点；若在点 附 近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极大值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值 大. 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.3.函数的最大值、最小值若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函
7、数的最值必在极值点与区间端点处取得. 题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型42 利用原函数与导函数的关系判断图象【例3.7】若函数 的导函数在区间 是增函数，则函数在区间 上的图象可能是 （ ）.AB C D【分析】 利用导数的几何意义求解.【解析】 由导数的几何意义是切线的斜率知，函数 图象上的切线斜率递增. 选项 B中曲线从左到右的点的切线斜率由大到小变化；选项 C，斜率是一个常数；选项 D中曲线从左到右的点的切线斜率先增后减，只有A项中曲线上从左到右的点的切线斜率是递增的. 故选A.题型 43 利用导数求函数的单调区间【例3.8】 求函数 的单调 区间.【解 析】 ，令 得 或，如表
8、3-1所示. 的单调 区间为 和单调 减区间为 .表3-1极大值极小值题型44 函数的极值与最值的求解【例3.9】设函数 ，则（ ）.A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点【分析】 求函数的极值点，即求解导函数的变号零点.【解析】 因为 ，所以 .当 时， ，函数 单调递 增；当 时， ，函数 单调递 减.因此， 时，函数 取得极小值. 故选D.题型45 已知含参函数在区间上单调 性或无单调 性或存在单调 区间，求参数的范围【例3.11】 已知函数 .（1）当 时，求 的极值；（2）若 在 上是增函数，求 的取值范围.【 解 析 】（1）当 时，
9、，令 得 ，令 得 ，故 在区间 上单调递 减，在区间 上单调递 增，在 处， 有极小值.所以 是 的极小值.（2）若 在 内是增函数，当且仅当，即 在 上恒成立.( i ) 当 时， 恒成立；( ii) 当 时，令 为开口向上的二次函数，其对称轴 为 ， 在 上的最大值为 ，令得(iii) 当 时， 为开口向下的二次函数，其在 上 的最大值为 ，令 ，得 .综上， 的取值范围是 .【例3.12】 已知函数 .（1）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 求 ， 的值；（2）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围.【解 析】（1）由函数 的图象过原点，得 ，又 ， 在原点处的切线斜 率 ，则 ，所以 或 .故 或 ， . （2）由 ，得 ， ， 又 在 上不单调 ，则 在 内有实根，即有 或 ，解得 或.综上， 的取值范围是 .【评注】 若 在某区间上不单调，则 在此区间有实数根，可先考虑 在整个定义域内的根的情况，结合函
