《步尚全+泛函分析基础习题答案提示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《步尚全+泛函分析基础习题答案提示（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、泛函分析基础1 第四章赋范空间中的基本定理1.设p是赋范空间X上的次线性泛函，满足(0)0p，且在0处连续。求证：p是连续映射。证明：由p在 0 处连续，且满足(0)0p可得：0,0使得满足|x | |0|x的x都有|(x)(0) | |p(x) |pp。从而h满足|h |则|(h) |p任取0,xxX令zxhX，且满足| |zxh，由p是x的次线性泛函可以得到：(h)p(xh)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p即|(xh)(h) | max| p(h) |,| p(h) |pp注意到| |,|hh从而|(h) |,| p(h) |p即得到|(xh)(x) |pp即p在x处连续，由x的
2、任意性可知，p处处连续，为连续映射。2.设X为线性空间，:p X使得任取,x yX，有(xy)p(x)p(y),p(x)| p(x)p求证：p是X上的半范数证明：=0取，则由条件(x)| p(x)p得到(0)0p。由X是线性空间，其中存在零元和负元。任取,0xxX x则有：0(0)p(xx)(x)p(x)p(x)p(x)2 (x)ppp即(x)0p从而得证半范数的三个条件。即pX是上的半范数。3.设12,a a固定，考虑3的线性子空间3 1233(x ,x ,x ):x0Z及Z上的线性泛函1231122(x ,x ,x )afxa x 。求出所有f到3上的线性延拓泛函分析基础2 及其相应的线性
3、泛函的范数。解：由线性我们自然想到，对于3x 应该为线性的。由 Hahn-banach定理可知：3*() ,|Zggf。并且对于形如1231 12233(x ,x ,x )ga xa xa x3a3 123(a ,a ,a )的线性泛函满足题目的要求。其范数为：222 123| |a |a |a |g4.设X为赋范空间，M为X的线性子空间，0xX 。求证：0xM 当且仅当,|0,MfXf都有0(x )0f证明：00nnxMxMxx使得，由于nxM|0Mf故1,(x )0nnf。fXf为连续映射0nxx 则0(x )(x )nff从而0(x )0f：假设对于fX，|0Mf都有0(x )0f的情况
4、下0xM 则0()cxM注意到：M是X的闭线性子空间，M是X的真子集。令00= (x ,)inf|x| 0yMMy则由定理4.1.7 ：fX使得0| | |1 ,|0 ,( x)0Mfff，又条件fX都有0(x )0f矛盾！从而假设不成立，0xM5.设X为可分赋范空间，求证：存在X单位球面的可数子集N，使得任取xX，有| sup| f(x) |x。证明：X为可分赋范空间X存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为123x ,x ,x .A设123x ,x ,x .=XA则nxA，,| 1n mn mfXf泛函分析基础3 1,sup|(x )| |x |mn mnnf。6.设X为赋范空间，*fX 求证
5、：(f)fXN为X的闭线性子空间证明：fXf是X上的有界线性算子，且X为赋范空间根据推论 2.4.1，()N f是X的闭线性子空间。：()N f是X的闭线性子空间。若| 0f，则fX显然。若| 0f对于:fX，0并且是的闭集，()N f是X的闭线性子空间，即()N f也为闭集。从而由定理1.2.6得：f是连续映射。再根据定理 2.4.4：,X为赋范空间，*fX 即:fX为线性的故有f是连续映射f是X上的有界线性算子。从而得证fX7.设X为赋范空间，M为X的非空子集。求证：若()span MX则( )0fMN f。证明：事实上由Hahn-Banach 定理 4.1.4 可知：fX有( )0f x
6、则0x()Xspan M()fspan M有( )0f x则0x(),(),nnx span Mxspan MxxfM有( )0f x则0x( )0fMN f。另证：假设()fMN f，即000,( )fMxxN f。即00(),()00fspan Mf xx，。 另 一 方 面 ， 由 于()span MX， 则,()nfXfspan M()nff n。从而对,( )( )nxX fxfx 。注意到：()0nnfx所以000=()()0()nfxf xn即4.1.4 00,()00HahnBanachfXf xx这与假设矛盾！结论得证。8.设X为赋范空间，M为X的线性子空间。xX，求证：(
7、,)sup|( ) |:,| 1,|0Mx Mf xfXff证明：M为X的线性子空间M为线性空间0()Mspan MM，泛函分析基础4 000xXMx。令0()ZspanMx定义gZ0( )()|g zg yx其中00,= (,)inf|yMyMxMxy，显然有,()0gMyMgy，00,()xXM g x。即,( ,)( )xXx Mg x0000,|( ) | |inf|inf|/|inf| y|y MyMy MzZg zxyxyxyxz从而| 1g。由 Hahn-Banach定理：,|,| |g| 1ZfXfgf|0Mfg( ,)|( )|:fX ,| f | 1,f |0Mx Mf x
8、9.考虑0c 的线性子空间0 1:02n nn nxMxc。求证：任取xMx在M中无最佳逼近元。10. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间，令:|0MMfXf。若12,MM 为X的闭线性子空间，且12MM 。求证：12MM 。11. 设赋范空间X中包含n个线性无关的元素， 求证：X也包含至少n个线性无关的元素。12. 设M为赋范空间X的非空子集，求证：M在X中为完全集在M上恒为0 的fX在X上也恒为 0. 13. 设,X Y为 赋 范 空间 ，*(, ),T(,)TB X YB Y X为 其 共 轭 算子 。 求 证 ：*( )()R TN T。14. 设(,)X d为度量空间。求证：MX为无
9、处稠密子集当且仅当()cM为X的稠密子集。15. 证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。16. 设nx 为赋范空间X中的一列元，任给fX， ()nf x都是纯量有界列。求证：nx为有界列。泛函分析基础5 17. 设X为 Banach空间，Y为赋范空间，(,)nTB X Y 为一列有界线性算子，设任取xX，nT x 都是中的柯西列， 求证：存在常数0C，使得任取1n，| CnT。18. 在上题中又设Y为 Banach 空间，求证：存在(,)TB X Y，使得任取xX，nT xTx ，且1| sup|nnTT。19. 设X为 Banach空间，Y为赋范空间，(,)nTB X
10、Y 为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价：存在0C,| CnT; 任取xX，nT x 为Y中的有界列；任取,()nxX fYf T x为纯量有界列。20. 设X为赋范空间，,nx xX ，nx 弱收敛到x。求证：:1nxspan xn。21. 设X为赋范空间，,nx xX ，nx 弱收敛到x。求证：ny 为123,.x x x的线性组合，使得nyx。22. 设,0,1nxxC，nx 弱收敛到x。求证：nx点点收敛到x。即任取0,1t，有( )( )nx tx t23. 设,X Y为赋范空间。(,)TB X Y，,nx xX ，nx 弱收敛到x。求证：nTx 弱收敛到Tx。24. 设X为赋范
11、空间，, ,nnx y xyX ，,n，假设nx 弱收敛到x，ny 弱收敛到y，n。求证：nnxy 弱收敛到xy，nnx 弱收敛到x。25. 设X为可分 Banach 空间，MX为有界集。证明：M中任意序列均有子列弱星收敛到X中某元。26. 设,X Y为赋范空间，:TXY为闭线性算子，求证：( )N T为X的闭线性子空间；泛函分析基础6 若T为一一映射，则1:TYX也为闭线性算子。T将X的紧集映射到Y的闭集。Y中的紧集通过T的逆象为X的闭集。27. 设H为 Hilbert 空间，:A HH为线性算子，满足,Ax yx Ay ，,x yH求证：()AB H28. 设X为 Banach空间，12,XX 为X的闭线性子空间。假设任取xX，存在唯一的1122,xXxX ，使得12xxx 。求证：存在0a，使得112|xaxx，212|xaxx，11xX ，22xX29. 设,X Y为赋范空间，:TXY为线性算子。求证：T为闭算子当且仅当任取nxX ，0,nnxTxy ，都有0y。
