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1、2012 智轩考研数学基础导学讲义 电话 13875770072 QQ 56261179 1 第六章 向量代数与空解几何 第一节 向量代数 一、向量代数的三基及其延拓 向量代数研究的对象为自由向量（同一方向和同一长度而不在同一直线上的向量视为同一向量，即本章研究的向量与起点无关） ，研究的空间维度不超过三维。向量代数和空间几何是学好多元函数积分学的核心基础。 1.1 向量的 3 种等价表示法 几何表示：以原点为起点的有向线段。 坐标表示： (, , )xyzaaaa=v ，这是常用的表示方式。 投影表示：矢量式 xyzaa ia ja k=+rrrr ；标量式 Prcosuj aaj=r ，j
2、为ar 与u轴的夹角。 定点分比公式：121212,111xxyyzzOMlll lll+=+uuuu r 。参见同济 6 版下册 P8 例题 3。 广义坐标系：任何极大完备无关向量组 设向量123iiiiisaa aaa = urM括弧内为坐标分量，则相互无关的向量组123,na aaar rrrL可以构成n维坐标系，如果将该向量组施密特正交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然， 如果123,na aaar rrrL中的每一向量iaur 是 3 维（=3s，有三个坐标分量） ，则不可能组成 4 维坐标系，在几何上相当于不可能由三维坐标系表示任意四维向量，同样，如果iaur 使用四维坐标表
3、示，则能够构造的坐标系的空间维度不可能大于 4，一般地，1n+个n维向量必线性相关，这个思想应特别注意。 1.2 向量的方向角和方向余弦 ar 与x轴、y轴和z轴的正向且非负小于p的夹角,a b g称为ar 的方向角。 cos ,cos,cosabg称为ar 的方向余弦，且cos, cos, cosyxzaaaaaaabg=rrr 任意向量rr 方向余弦（reur 为r的单位向量，并规定reur 离开原点为正方向。 ） ()()(), , cos, cos, coscos,cos,cosrxiy jzkx y zrrrrabgabg=+=rrrr()cos , cos, cos , rxyze
4、rrrabg=ur2012 智轩考研数学基础导学讲义 电话 13875770072 QQ 56261179 2 reur 称为rr 的单位向量，并且 222 222coscoscos1rxyzerrrabg+=+=ur。 222sinsinsin2abg+=。 任意向量线元dlr 方向余弦（leur 为l的单位向量，与dlr 正方向一致，并规定leur 离开原点为正方向。 ） coscoscoslldxdydzdldleidxjdykdzeijkijkdldldlabg=+=+=+rurrrrurrrrrrr()cos , cos, cos, , ldxdydzedldldlabg=ur 任意
5、向量面元方向余弦（neuu r 为面元法线的单位向量，并规定neuu r 与Z轴夹角为锐角时为正方向。 ） coscoscosnndydzdzdxdxdydSdSeidydzjdzdxkdxdyeijkijkdSdSdSabg=+=+=+u ruu rrrruu rrrrrrr()cos , cos, cos, , ndydzdzdxdxdyedSdSdSabg=uu r1.3 各类夹角的规定 1.3.1 两向量的夹角j规定为两向量不大于p的夹角，即0jp，这个规定与方向角范围一致。 ( )1 0yxzxyzaaaa bbbbjjp=rrP两向量平行，两向量反平行； 两向量平行或反平行的充要条
6、件为：()0baal=rrr ，即ar ，br 共线。如果三个或三个以上的向量，起点重合时，终点位于同一平面上，则共面。 ( )202xxyyzzaba ba ba bpj=+=rr两向量垂直。 ( )3零向量表示为0r ，它与任意向量的夹角()0,p中的任意值。 1.3.2 直线与直线的夹角a规定为02pa，且无方向之分。 1.3.3 直线与平面的夹角q规定为直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角，02pq。 1.3.4 平面与平面的夹角y规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角，02py。 又等于他们的法线之间不超过2p的夹角。 1.4 数量积 又称标积或点积，表示为a bv v
7、，且 12121 2222222 111222coscosx xy yz za ba ba ba bxyzxyzjj+= +v vv vv vgv v或：()PrPr 0, 0aba baj bbj aab=rv vvvvvv 。其中：bPra bj a b=r rr r称为ar 在br 上的投影。 注意：数量积本质上就是一个实数。 在三维以上空间的数量积称为内积 ，且表示为 2012 智轩考研数学基础导学讲义 电话 13875770072 QQ 56261179 3 1111222212121 21 2, ( , , , ) (, , , )a ba bxyztxyztx xy yz zt
8、t=+v v1.5 向量积 又称叉积或外积，表示为a bvv ，且 1.5.1 111222ijk a bxyz xyz=vvv vv ， 方向规定：转向角不超过p的右手螺旋定则。 1.5.2 sina ba bj=vvv v ， 1.5.3 几何意义： a bvv =平行四边形的面积；0 a ba b=vvv v，且共起点， 共线。 1.6 混和积 表示为()ccabab=rrrrrr ，且 1.6.1 ()()()111222333c 0xyz aba bcb cacabxyzVV xyz=rrrrvvvvvvvv三点共面 1.6.2 几何意义： cabrrr 代表平行六面体的体积；c =
9、0 c aba brrrr ur r， 共面。 1.7 向量的求导法则 yxzdadadadaijkdtdtdtdt=+vvvv； ()ddfdaf aafdtdtdt=+vvv()ddadba bbadtdtdt=+vvv vvv()ddadba bbadtdtdt= +vvvvvv【例 1】设()2, ,4ba bp=rr r ，求 0lim xaxbax+-rrr解()() () ()222000limlimlim xxxaxbaxbaaxbaaxbaxx axbax axba+-+-+- = +rrrrrrrrrrrrrrrr()20222limcos,2122xa bxba bba
10、b axbaa += +r rr rrr r rrrr 第二节 直线方程的三基及其拓展 方向向量sr ：一簇与该直线平行的方向数,l m n；一般用(),sl m n=r 表示直线的方向向量。 一、直线方程的 3 种基本形式 2012 智轩考研数学基础导学讲义 电话 13875770072 QQ 56261179 4 1.1 一般式方程()()11111111222222220 ,0,AxB yC zDnA B CA xB yC zDnA B C+=+=uvuu v，12, nnrr 表示平面的法向向量。 则直线的方向向量 ()12,snnl m n=vuvuu v1.2 点向式（标准式） (
11、)000,xxyyzzsl m nlmn-=v1.3 参数式 000xxltyymtzznt=+ =+ =+000(,)M xyz为直线上已知点， 方向数：(),sl m n=v二、 直线间的关系 2.1 111 12 222lmnLLlmn=P 2.2 121 212120LLl lm mn n+= 2.3 1212cosSSS Sqq=uu v uu vuu v uu v 2.4 点()1111,P x y z到直线222xxyyzz lmn-=的距离d 212121222ijk xxyyzzlmn d lmn-= +vvvrr底长为 s 的平行四边形面积s2.5 直线到直线的距离d (
12、)a 两平行直线的距离d 212121222ijk xxyyzz lmn d lmn-= +vvv( )b 两异面直线的距离d（画出平行六面体图推导出下式） 212121111121222212111222, , xxyyzzlmn PPSSlmnd SSijklmn lmn-= uuuu r uu r uu ruu ruu rrrr其中：()1111,P x y z和()2222,P xyz分别为两直线上的任意两点。 评 注 两异面直线的距离可以这样分析求解： 设平面p经过点1P，1Suu r 和2Suu r 是平面p上两个不平行的向量，2012 智轩考研数学基础导学讲义 电话 138757
13、70072 QQ 56261179 5 2P为平面p外的一点， 以1Suu r 、2Suu r 和12PPuuuu r 为棱构成一个平行六面体， 则底面1Suu r ，2Suu r 的高就是点2P到平面p的距离d。同时，若直线1L经过点1P，方向向量是1Suu r ，直线2L经过点2P，方向向量是2Suu r ，那么1L和2L是异面直线，d就是公垂线的长。 直线和平面的题目往往是联合在一起的，而很少出现单独的直线和平面的单知识点的题目。故我们的举例将在讲述平面方程后。 第三节 平面方程的三基及其延拓 一、平面方程的 4 种基本形式 1.1 一般式 0AxByCzD+=。法线方向向量 (), ,
14、nA B C=v形象记忆掌握法： “影评” （隐蔽平行坐标量） ，如y隐蔽（不出现在方程中） ，则y 轴；依此类推。 1.2 点法式 000()()()0A xxB yyC zz-+-+-= 1.3 截距式：即平面经过下列三点：( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, )1xyzabcabc+= 1.4 平面束方程 ()111122220AxB yC zDA xB yC zDl+= 上述平面束方程不包含22220A xB yC zD+=；如所求平面通过已知直线（需要转化成直线的一般式，需要转化成直线的一般式，方法是先令1x =等特殊值，求得直线上一具体点，再根据12snn=rur
15、uu r 求出直线的方向数，然后根据点向式求得直线方程，如何转化请参见同济 6 版下册 P44 例题 1） ，则用平面束方程会比较简便，但必须验证22220A xB yC zD+=是否满足所求结论，以免遗漏。 二、平面间的关系 2.1 111 12 222/ABC ABCpp= 2.2 12121212A AB BC Cpp+=0 2.3 夹角q121212222222 111222cosA AB BC CABCABCq+= +2.4 点()0000,P xyz到平面0AxByCzD+=的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理 000222AxByCzDd ABC+= +证明：在平面上任取一点()1111, , P xyz，作平面的法线向量nr ，则 10Prndj PP=uuuu r 。 ()()()()()() ()() ()101001010122201010100011122222200000000022222222,
