《每天解决一类题之平面向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《每天解决一类题之平面向量（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量基础篇山柳整理1 2008 届高考数学类题解决方案平面向量基础篇一、对平面向量加法、减法的考查基础知识：1理解他们的几何意义 向量加法： 利用 “ 平行四边形法则” 进行，但 “ 平行四边形法则” 只适用于不共线的向量，如此之外， 向量加法还可利用“ 三角形法则 ” ： 设,A B aBCb， 那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；可以简单的记为：“ 首尾相接，连接起终，指向终点” 。可以写一大串式子，如：ABBCCDDEAE. 向量的减法：用“ 三角形法则 ” ：设,ABa ACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
2、可以间记为：“ 起点相同，连接终终，指向被减” 。如：BDABAD。 实 数与 向 量a的 积 是 一 个 向 量 ， 记 作a， 它 的 长 度 和 方 向 规 定 如 下 ：1, 2aa当0 时，a的方向与a的方向相同， 当AC abb2ab22bab,选 AA B C D 平面向量基础篇山柳整理3 4(安徽卷 )在四面体O-ABC 中，,cOCbOBaABD 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE= （用 a，b，c 表示） . 解：OE=11()22OAAEOAADOAAOOD=11()24OAOBOC111244abc。5(广东卷 ) 如图 1 所示， D 是 ABC 的边
3、AB 上的中点，则向量CD= ( ) A. 12BCBAB. 12BCBAC. 12BCBAD. 12BCBA解：12CDCBBDBCBA，故选 A. 说明：)( 21ACAB表示ABC 的边 BC 的中线。二 对向量坐标运算的考查基础知识：1首先要熟悉几组运算公式及运算律设1122(,),(,)ax ybxy，向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。实数与向量的积：1111,axyxy。若1122(,),(,)A xyB xy，则2121,ABxx yy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：1212a bx xy y。向量的模：22|,ax
4、y2222|aaxy。两点间的距离：若1122,A xyB xy，则222121|ABxxyy。提醒： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约 )；（2）向量的 “ 乘法 ” 不满足结合律，即cbacba)()(。平面向量基础篇山柳整理4 2通常是对平行（共线）和垂直的考查设1122(,),(,)ax ybxy(1) 向量平行 (共线 )的充要条件：/abab（0 时同向，当0 时反向）1212x yy x0。(2) 向量
5、垂直的充要条件：0aba b12120x xy y。引申： 若 A、B、P 三点共线，则ABAP。真题演示：1 （宁夏、海南卷）已知平面向量(11)(11)，ab，则向量1322ab（）( 21)，( 21)，( 1 0)，( 1 2)，解：1322ab( 1 2).，选 D2 （山东卷）设向量a=(1,3),( 2,4)b,若表示向量4a、32 ,ba c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）（A）(1, 1)（B）( 1,1)（C）( 4,6)（D）(4,6)解： 4a（ 4， 12） ，3b2a（ 8，18） ，设向量c（ x，y） ，依题意，得4a（3b2a） c 0，所以 4
6、 8x0， 1218y0，解得 x4，y 6，选 D 3 （江西卷）在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为(0 0)O，(11)B ，则AB AC解：(0,1) ( 1,1)0 ( 1)1 11.AB AC4 （山东卷）已知向量(1)( 1)nn，ab，若2ab与b垂直，则a（）A1B2C2D4 解：2(3,)nab =，由2ab与b垂直可得：2(3, ) ( 1, )303nnnn，2a。选 C. 说明： 综合考查了垂直和求模长的知识！5 （浙江卷）设向量, ,a b c满足0abc,| 1,|2ab ab,则2| |c（）(A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解：由
7、0abcabc，故2|c2()ab22|2| |aa bb5 说明： 本题主要是考查了0aba b及22|aa。平面向量基础篇山柳整理5 6 （江苏卷）已知两点M （ 2， 0） 、 N（ 2， 0） ，点P 为坐标平面内的动点，满足:| |MNMPMNNP0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为( ) （A）xy82（B）xy82（C）xy42（D）xy42解：设( , )P x y，0,0xy，( 2,0),(2,0)MN，4MN则(2, ),(2, )MPxy NPxy由0NPMNMPMN，则224 (2)4(2)0xyx，化简整理得xy82所以选 B 说明： 本题考了由两个点确定一个向量的
8、坐标表示的求法以及模长的求解。小结： 前面 6 个题目主要是对一些基本知识的考查，要熟练公式和运算律！7(全国 II) 已知向量a（ 4，2） ，向量b（x，3） ，且a/b,则x（） （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 解：a/b4 32x0，解得 x6，选 B 说明：/ab1212x yy x 0。8若三点A(2， 2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于。解：AB（ a2， 2） ，AC（ 2，2） ，依题意，向量AB与AC共线，故有 2（a 2） 40，得 a4. 说明： 若 A、B、C 三点共线，则ABAC,即/ABAC。9 （北京卷）若a与bc都是非零向量，则“a b
9、a c” 是 “()abc” 的 ( ) （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件解：a ba ca ba c 0ab c0（ ）ab c（ ），故选 C 说明：0a bab10 （北京卷）已知向量2 411，a =b =若向量()ba +b，则实数的值是解：已知向量2 411ab，=向量(2,4)ab，()bab+，则 2+4+=0 ，实数=3说明： 考查综合运算！ab12120x xy y。平面向量基础篇山柳整理6 11 (全国 ) 已知向量( 5,6)a，(6,5)b，则a与bA垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向解：已知向量(
10、5,6)a，(6,5)b，30300a b，则a与b垂直，选A。说明：12120x xy y0a bab12. (湖南卷 ) 已知向量),2 , 1 (),2(bta若1tt时，ab；2tt时，ba，则 ( ) A1,421ttB. 1,421tt . 1, 421ttD. 1, 421tt解：),2 , 1 (), 2(bta若1tt时，ab，14t；2tt时，ba，21t。13 （重庆卷）已知向量(4,6),(3,5),OAOB且,/,OCOA ACOB则向量OC等于（A） 72,73（B）214,72（C）72,73（D）214,72解：设( , ),460,C x yOCOAxy/5(
11、4)3(6)0,ACOBxy联立解得32(,).77C选 C 14. （湖北卷）已知非零向量,a b，若2ab与2ab互相垂直，则ab( ) A. 41B. 4 C. 21D. 2 解：由 a2b 与 a2b 互相垂直（a2b） （a2b） 0a24b20 即|a|24|b|2|a|2|b|，故选 D 说明： 考查了对向量数量积的运算和模的求解。用到的相关知识a bb aababababca cbccbacba)()(（注意：是不等于）22|aa平面向量基础篇山柳整理7 三、对数量积的考查基础知识：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当0 时
12、，a，b同向，当时，a，b反向，当 2时，a，b垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量| |cosab叫做a与b的数量积 （或内积或点积） ，记作：ab，即abcosa b。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3b在a上的投影为| |cosb，它是一个实数，但不一定大于0。4ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0aba b；只有当a，b同向时，aba b（否则，不要漏下cos） ； 当a与b反向时，aba b。特别地 ，22 aa aa，2
13、aa非零向量a，b夹角的计算公式：cosaba b；| |a bab。真题演示：1. （广东文4 理 10）若向量,a b满足 | | 1ab，,a b的夹角为 60，则a aa b=_；解：131 1 1 122a aa b。2. （上海文6）若向量 a b， 的夹角为60，1ab，则aab解：2211cos601 22aabaa baab。3. (全国 ) 已知向量a、 b满足1,4,ab，且2a b，则a与b的夹角为 ( ) A 6B 4C 3D 2平面向量基础篇山柳整理8 解：向量a、b满足1,4,ab且.2ab,设a与b的夹角为，则 cos= | |a bab=21， = 3，选 C
14、. 4已知向量a=(cos,sin), b=(cos,sin), 且 ab，那么 a+b 与 a- b 的夹角的大小是 . 解：a+b（ coscos，sinsin） ，a- b（coscos，sin sin） ，设 a+b 与 a- b 的夹角为，则 cos (a+b) (a-b)0|a+b | |a-b |，故 2。5. （辽宁理3 文 4）若向量a与b不共线，0a b，且a ac = a -ba b，则向量a与c的夹角为（）A0 B6C3D2解：因为0)(2 2 ba baaaca，所以向量a与c垂直，选D 6. （天津卷） 设向量a与b的夹角为，(3 3)a，2( 11)ba， 则c
15、o s解：设向量a与b的夹角为,且(3,3),2( 1,1),aba(1,2)b，则cos9| | |3 25a bab3 10 10。说明： 如果是坐标的话就按照坐标的运算规则：设1122(,),(,)ax ybxy，平面向量数量积：1212a bx xy y。向量的模：22|,axy2222|aaxy。7. (福建卷 ) 已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于 ( ) （A）5 （B）4 （C）3 （D）1 解：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3| | cos120|2a babb，222|2|abaa bb，21393|bb，平面向量基础篇山柳整理9 则b= 1(舍去 ) 或b=4，选 B. 8. （浙江卷）设向量, ,a b c满足0abc,| 1,| 2ab ab, 则2|c（）(A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解：由0abcabc，故2| |c2()ab22|2|aa bb5 说明： 往往22|aa知道这个没错！但是在计算a b的时候不要忘了cos！ ！ ！如第7题，而本题中ab，说明a b=0.四、对平移公式的考查基础知识：1
