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1、1单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象， 是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系 统，必须施加十分强有力的控制手段才能使之稳定。 许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来 加以验证。从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各 种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火 箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控 制有很大的相似性。小车倒立摆系统建模?图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应 的平衡条件是和。?人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状 态控制没有本质差异。0)(=t0d/d=t图1 手持倒立摆小车倒立摆控制问题描述?这
2、个问题的经典表述形式是图2所示的小车上的倒摆控制问题。?小车必须处于运动状态才能保证质量m始终处于小车 上方。图2 小车倒立摆小车倒立摆动力学分析?分析系统水平方向的受力情况和铰接点的力矩情 况，列写系统运动的微分方程。?系统水平方向受力之和为：()ulytmtyM=+sindd dd2222即umlmlymM=+sincos)(2? ? ?和由于平衡附近( )0t0?0)()(=+tumlymM? ? ?，有sin1cos和其中，)(tu施加在小车上的外力， l质量m到铰接点的距离。动力学分析(2)?绕铰接点旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡：()sincossindd22 mglllytm=
3、 +,即( )0t0?sin1cos又由于平衡点附近且和sincossincoscos22glly=+? ? ?即：0=+gly? ? ?代入上式得：2动力学分析(3)选定两个二阶系统的状态变量为TTyyxxxx?=4321x再解出式中2x ?，并代入式，可得4x l?并代入式得：解出式中将式和式写成状态变量的形式，可得0)()(34=+tugxmMxMl?)(11 32tuMmgxMx+=?可得：0)(32=+tumgxxM?0)()(42=+tuxmlxmM? 0342=+gxx lx?小车倒立摆系统状态方程模型于是4个一阶微分方程为：)(1)(,)(1,34433221tuMlxMlgm
4、MxxxtuMxMmgxxx+=+=?其中：=+ =)/(10/10,0)(0010000)/(000010MlMMgmMMmg BA系统状态方程为：)(tuBAXX+=?单级旋转倒立摆建模与普通的小车摆杆倒立摆系统不同，单级旋转倒立摆系 统,将摆杆安装在与电机转轴相连的旋臂上，通过电机带动旋臂的 转动来控制摆杆的倒立，将平动 控制改为旋转控制，使得整个系 统更为复杂和不稳定，增加了控 制难度。单级旋转倒立摆系统结构两个角度电位器分别安装在直流电动机 的转轴处和摆杆关节处，测量旋臂与铅直 线角度偏移量，摆杆与旋臂之间的相对角 度偏移量。 A/D转换送入计算机 计算机按控制算法计算出控制信号 D
5、/A转换功率放大器放大驱动直流力矩电动机控制目标：使单级旋转倒立摆在不稳定的平 衡点处平衡。动力学分析1) 驱动臂绕转轴旋转的转动运动方程（以转轴为原点的惯性系）：2) 摆杆质心的运动方程：()()2 1111011 122111111211121()sincossinexyJM LGuKFFM gLf Lf L+=+?水平方向：垂直方向：()21212212coscosyM LLfM g+=()2121221sinsinxM LLf+=3) 摆杆绕关节旋转的转动运动方程（以关节为原点 的非惯性系）： ()()()()2 22 22222221212122212122sinsincoscoss
6、inJM LM gLFM LLM LL+=+? 动力学分析()()()2 11 11011 122111111211121sincossinexyJMLG u KFFMgLf Lf L+=+?()()()()2 22 22222221212122212122sinsincoscossinJM LM gLFM LLM LL+=+?3动力学分析得到该系统的非线性方程为：22 1112122122211 2 212212222212022122212122122121221121210222cos(-) cos(-)sin(-) sin(-)(+) sin sin0eJM LM LM L L M L LJM LFFG KFM L L FM L LFM LM LgG M gL + + +=? ?u有关参数的物理意义?旋臂角位移1，摆杆角位移2；(相对于垂直线,rad)?旋臂质量M1，摆杆质量M2；(kg)?旋臂绕轴转动惯量J1 ，摆杆绕轴转动惯量J2。(Kgm2)?旋臂质心到转轴距离L1，摆杆质心到关节距离L2；(m)?旋臂转轴到关节的距离L12；(m)?旋臂与摆杆作用力的水平分力f1x、垂直分力f1y；(N)?电机力矩-电压比G0 (Nm/V)，电机反电势-转速比Ke(V/rad/s)；?旋臂轴摩擦力矩系数F1 ，摆杆轴摩擦力矩系数F2 ； (Nms)?控制输入电压u (V)。
