图像变换2离散余弦变换

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1、3. 2 离散余弦变换图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT。 13.2.1 离散余弦变换的定义 一维离散余弦变换的定义由下式表示(374) (375) 2式中 是第 个余弦变换系数， 是广义频率变量， ； 是时域N点序列， 一维离散余弦反变换由下式表示 (376) 显然，式(374)式(375)和式(376)构成了一维离散余弦变换对。3二维离散余弦变换的定义由下式表示(377) 4式(377)是正变换公式。其中 是空间域二维向量之元素。 ， 是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N N 5二维离散余弦反变换由下式表

2、示(378) 6789 余弦变换与傅里叶变换有什么关系？10式中的符号意义同正变换式一样。式(377)和式(378)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N4，那么由一维解析式定义可得如下展开式(379) 11写成矩阵式(380) 若定义 为变换矩阵， 为变换系数矩阵， 为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式(381) 12同理，可得到反变换展开式(382) 写成矩阵式13即 (384) 当然，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式(385) 式中 是空间数据阵列， 是变换系数阵列， 是变换矩阵， 是 的转置。143.2.2 离散余弦变换的正交性

3、 由一维DCT的定义可知 它的基向量是(386) 15在高等数学中，切比雪夫多项式的定义为(387) 16式中 是 和 的多项式。它的第N个多项式为如果 那么 将此式代入 17显然，这与一维DCT的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的，所以DCT也是正交的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示，当N时，(388) 则 18显然 这是满足正交条件的。从上述讨论可见，离散余弦变换是一类正交变换。193.2.3 离散余弦变换的计算与傅里叶变换一样，离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。首先，从定义出发，作

4、如下推导20(3 89) 21式中 是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：(390) 则 的离散余弦变换可写成下式22(391) 23由式(391)可见是2N点的离散傅里叶变换。所以，在作离散余弦变换时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换。 24同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把 作如下下延拓 (392) 那么，反变换也可用式(393)表示25(393) 26由式(393)可见，离散余弦反变换可以从 的2N点反傅里叶变换实现。273.3 离散K-L变换 又称为霍特林(Hotelling)变换 KL(Karhunen-Loev

5、e)或DKT 以图像的统计性质为基础的 变换核矩阵由图像阵列的协方差矩阵的特征值 和特征向量所决定又称为特征向量变换28 当变量之间存在一定的相关关系时，可以通过原始变量的 线性组合，构成数目较少的不相关的新变量代替原始变量 ，而每个新变量都含有尽量多的原始变量的信息。这种处 理问题的方法，叫做主成分分析，新变量叫做原始变量的 主成分。 目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。 相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考 虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使 单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低 点。 29 图像协方差矩阵假设对

6、某幅NN的图像f(x,y)，在某个传输通道上传输了 M次，因会受到各种因素的随机干扰，接收到是一个图像 集合将M次传送的图像集合写成M个N2维向量 X1,X2,Xi,XM,生成向量的方法可以采用行堆叠或列堆叠的方法，对第i 次获得的图像fi(x,y)，可用N2维向量Xi表示：30 问题是：如何选取一个合适的正交变换A，使得 变换后的图像Y=AX 1)是具有MN2个分量的向量 2)由Y经反变换而恢复的 (向量X的估值)和原始 图像具有最小的均方误差，即 称满满足这这两个条件的正交变换变换 A为为K-L变换变换 。如果能找到这样这样 一个 变换变换 ，那么就意味着经过经过 一个变换变换 ，不仅删仅

7、删 除了N2-M个分量，并 且由变换结变换结 果Y重新恢复的图图像是有效的过滤过滤 了随机干扰扰的原图图像的最佳逼近。 31 X向量的协方差矩阵CX定义为设ei和i是协方差矩阵CX对应的特征向量和特征值 ，将特征值按减序排列，即则K-L变换核矩阵A的行用CX的特征值i所对应的特征 向量ei构成：32直接求矩阵 CX的特征值和特征向量很困难。这是因为CX是N2N2维矩阵， 尽管图像的大小N可能不是很大的，但N2却是很大的数据。这样求其特征 向量和特征值速度较慢。但如果样本图象个数M不太多，可以先计算出 MM维方阵LATA的特征值k和特征向量 vk左乘矩阵A，则有 是矩阵CX的 特征向量可以选择P

8、(PM)个较大特征值对应的特征向量（主成分），构造新 的P维主成分空间Q 因为CX是实对称矩阵，总能找到一个标准正交的特征向量集合 ，使A-1=AT，那么可得K-L反变换为 33K-L变换的性质和特点（1）Y的平均值向量my0，即为零向量0（2）Y向量的协方差34（3）对角性对角线上的元素是原始图像向量的协方差矩阵CX 对应的特征值i，它也是Y向量的方差。而非对角 线上的元素值为0，说明Y向量中各元素之间相关 性小，而CX的非对角线上元素不为0，说明原始 图像元素之间相关性强，这就是采用K-L变换进 行编码，数据压缩比大的原因显然K-L坐标系将矩阵CX对角化了，换句话说，通过K- L变换，消除

9、了原有向量X的各分量之间的相关性，从而 可能去掉那些带有较少信息的坐标轴，以达到降低特征 空间维数的目的。35X1X2e 1e 2在原来坐标系中，要用两个分量X1,X2来表示各个样本 ，而在K-L坐标系中，只要用e1就可以，去掉e2并不会 带来很大的误差假设矩阵CX只有少数几个数值大的特征值，而其余的特 征值数值很小，K-L坐标系就可以有效的进行信息压缩36 K-L变换的最大优点是去相关性好，可用于 数据压缩和图像旋转 主要困难是由于协方差矩阵CX求特征值和 特征向量解方程的计算量大，同时K-L变换 是非分离的，二维不可分，一般情况下，K -L变换没有快速算法37实例以K-L变换进行自动的人脸

10、识别为例说明我们把一幅数字图像看成一个矩阵或一个数组，用B(i,j) 或bij 表示，一幅NN大小的人脸图像按列相连构成一 个N2维矢量x=( b11 b21bN1 b12b22bN2 b1N b2NbNN)它可视为N2维空间中的一个点，假设N=128。由于人脸 结构的相似性，当把很多这样的人脸图像归一化之后， 这些图像在这一超高维空间中不是随机或散乱分布的， 而是存在某种规律，因此可以通过K-L变换用一个低维 子空间描述人脸图像，同时又能保存所需要的识别信息38 图像的归一化对于一个全自动的人脸识别系统，其首要的工作是人脸 图像的分割以及主要器官的定位。另外，由于K-L变换 本质上依赖于图像

11、灰度在空间分布上的相关性，因此还 需要对人脸图像进行一系列的预处理，以达到位置校准 和灰度归一化的目的假设已根据分割及定位算法，得到了人脸正面图像左右 两眼中心的位置，并分别记为Er和El，则可通过下述步 骤达到图像校准的目的391、进行图像旋转，以使Er和El的连线ErEl保持水平 。这保证了人脸方向的一致性，体现了人脸在图像 平面内的旋转不变性2、根据图所示的比例关系，进行图 像裁剪。图中，O点为ErEl的中点， 且d=ErEl。经过裁剪，在2d2d的图 像内，可保证O点固定于(0.5d,d)处 。这保证了人脸位置的一致性，体 现了人脸在图像平面内的平移不变 性3、进行图像缩小和放大变换，

12、得到统一大小的标准图 像，规定标准图像的大小为128128象素点，则缩放倍 数为=2d/128。这使得d=ErEl为定长(64个象素点)，即 保证了人脸大小的一致性，体现了人脸在图像平面内的 尺度不变性40经过校准，不仅在一定程度上获得了人脸表示的几何不 变性，而且还基本上消除了头发和背景的干扰。完成了旋转、平移和尺度不变性后，需要对校准的图 像做灰度拉伸，以改善图像的对比度，然后采用直方 图修正技术使图像具有统一的均值和方差，一部分消 除光照强度的影响假设人脸数 据库中，由 20人，每人 10幅人脸图 像41 K-L变换以归一化后的标准图像做为训练样本集，以该样 本集的总体散布矩阵为协方差矩

13、阵，即xi为第i个训练样本的图像 向量， 为训练样本集的 平均图像，M为训练样本 的总数为了N2N2维矩阵的特征值和正交归一的特征向量， 直接计算是困难的，因此引入一个定理，奇异值分解 SVD42设A是一秩为r的nr维矩阵，则存在两个正交矩阵：以及对角阵满足其中i为矩阵AAT和ATA的非0特征值，u和v分别为 AAT和ATA对应于i的特征向量，上述分解称为矩阵A 地奇异值分解，为A的奇异值推论43由于可表示为：故，构造矩阵：容易求其特征值i及相应的正交归一特征向量vi( i=0,1,2M-1)。由推论可知，的正交归一化特征 向量ui为这就是图像的特征向量，它是通过计算较低维矩阵 R的特征值与特征向量而间接求出的44将特征值从大到小排序：0 1 r-1，其对应的 特征向量为ui。这样，每一幅人脸图像都可以投影到 由u0,u1,uM-1张成的子空间中。因此每一幅人脸图像 对应于子空间中的一个点，同样，子空间中的任一点 也对应于一幅图像45特征脸46对于任一待识别样本f，可通过向“特征脸”子空间 投影求出其系数向量：y=Utf其重建图像f=Uy考虑重建图像的信噪比RSN=10lg(|f|2/|f-f|2) 若其小于阈值，则 可判断f不是人脸图像。47