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1、古典概型中不同解法得到同样结论的一类问题无锡市辅仁高级中学李思聪 214123 一、问题的提出先来看这样一道题目：例一将一副扑克牌的 2，3，4 共 12 张洗匀，从中一次随机抽取 2 张牌。试求抽出 2 张都为 2 的概率。现在给出如下的解法：解 1：基本事件总数为66（2 12C)种，其中 2 张都是 2 的方法有 6（2 4C）种，故所求概率为111666。解 2：基本事件总数为132（2 12A）种，其中 2 张都是 2 的方法有12(2 4A) 种，故所求概率为11113212。有些同行认为此题应该作“无序”考虑，因此第一种解法正确，而第二种解法虽然答案正确，但是过程错误。笔者的观点
2、是， 两种方法都对，不仅答案正确，过程也是正确的。二、问题的分析下面从古典概型的定义入手。苏教版必修 3 第 3.2 节表述了古典概型的定义：（1）所有基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的。我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型。上述两种解法中， 基本事件显然有限， 并且基本事件也是等可能的，事实上结果正确也验证了其等可能性，因此笔者认为上述两种解法都符合古典概型的定义，那么答案和过程显然都是正确的。但是很多同行存在异议的地方在于，这个问题中基本事件只能是66 个，不能是 132 个，那么我们就需要讨论下基本事件的定义。苏教版必修 3 第 3.2 节对于基本事件
3、的表述如下： 在 1 次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。2004 年版苏淳先生所著概率论给出的基本事件定义如下：样本空间中的每一个元素都称为一个基本事件，也称为一个样本点。从这些表述中， 我们可以看出， 基本事件的定义并没有限制了基本事件的选取是唯一的， 事实上 1 次试验可能出现的基本结果，因为我们关注的不同，可以得到不一样的结论。在1999 版杨振明先生所著概率论给出了这样的例子： “抛掷两枚硬币观察其正反面出现情况的样本空间可以是 正，正 ，正，反 ，反，正 ，反，反 ，如果我们只关心硬币出现正面的个数，也可以定义样本空间为 0 ，1，2 。 ”也就是说基本事件的选取方式可以
4、不唯一。且在一次抛掷两枚硬币的试验中， 正，正 ， 正，反 ， 反，正， 反，反 的样本空间是按照“有序”考虑，那么如果仅仅为了考虑一正一反这个事件的概率，不是应该按照“无序”处理吗，显然这里选取基本事件的理由是为了满足等可能这个条件，而并非满足“有序” “无序” 。因此，在例一中，只要132个基本事件是等可能的，认为其错误的并没有理论根据。 两枚硬币的例子也同时解释了一次抽取并非是必须作“无序”抽取的理由，因为两枚硬币也是一次抛掷，而我们为了使基本事件等可能，将其作了“有序”处理。下面可以再给出例一的另一种解法：解 3：假定第一次取出的是2，那么下一次有11 种取法，同理，第一次取 3 或
5、4，均有 11中取法，一共有33个基本事件，其中2 张都是 2 的方法有 3 种，故所求概率为111333。依据刚才诉述，这个方法中的33 个基本事件有限且等可能，显然也是一个答案和过程均正确的解法。那么下面的解法呢：解 4：基本事件有如下6 种，分别是 2 ，2 ，2，3，2，4，3 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，其中抽到两张 2 包含一个基本事件，概率为 61。这个解法中的基本事件选取是允许的，不过所选基本事件并不是等可能的，因此答案是错误的。 事实上我们可以计算出上述6 个基本事件的概率分布情况。三、问题的结论通过上面的论述， 我们得到的结论是， 基本事件的选取并没有特定的要求，只是在
6、一些概率问题中，为了使用古典概型，我们通常选取等可能的基本事件，“有序” “无序”在很多问题中并不是选取基本事件的根据。当然也不能因为“有序”“无序”判断古典概型的正确性。这与排列组合问题是不同的。通过这样的论述，笔者也想在平时的教学中做出一些思考。第一，数学作为一门处在公理化体系下的学科，其中很多问题应该在定义，公理， 定理的基础上思考研究，而不是盲目的用经验主义处理，作为一名数学教师，也应该要有数学家的基本思维方式。第二，教学中，对于学生提出的问题，我们经常会做出这样的回答： “你那样是错的， 用老师教的方法。”在学生不满意这样的回答时，我们还会怪罪这个学生不听话，不按照老师要求去做。其实，如果我们能从书本上的定义，定理，基本概念出发，给学生解释清楚来龙去脉，让他心服口服，不仅仅能解决他的疑问，更是另一种形式的数学教育，甚至说，这才是作为数学教师真正应该教会学生的东西。第三，作为数学教师， 在一些数学问题上存在不一样的见解和看法，合情合理， 但是理性的讨论也是应该的，我希望这样的讨论在我们平时的教学中多些。
