《微分方程稳定性理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程稳定性理论（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.6 微分方程稳定性理论简介一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程(1) 右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).1如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足(3)则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解 x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下 面介绍直接法.2将f(x)在x0点作Taylor展开，
2、只取一次项 ，方程(1)近似为(4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论：若f (x0) 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的. 3注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f (x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a 0, q 0，则平衡点稳定; 若 p 0 (3) q = detA = kl (4) 由稳定性准则(见6.6节(15)式)，当 kl (5) 时，平衡点(x0, y0)是稳定的; 反之，是不稳 定的.这就是说，在(5)式的条
3、件下，时间足 够长以后双方的军备将分别趋向一个有限 值，军备竞赛是稳定的 19模型的定性解释 根据方程(1)和平衡点稳定 性的分析，可以解释几个简单而又重要的现象.1. 条件(5)表明，当双方的经济制约程度 大于双方的军备刺激程度kl时，军备竞赛才会趋 向稳定. 反之，x(t), y(t)将趋向无穷，竞赛无限 地进行下去，可能导致战争.2. 由(2)式，如果g = h = 0，则x0 = 0, y0 =0 是方程(1)的平衡点，并且在条件(5)下它是稳定 的. 于是如果在某个时候t0有x(t0) = y(t0) = 0，x, y 就永远保持为零. 这种情况可以解释为双方不存 在任何敌视和争端，
4、通过裁军可以达到持久和 平两个友好的邻国正是这样. 203. 如果g, h 0，即使由于某种原因(如 裁军协定)在某个时候双方军备大减，不妨 设x(t0) = y(t0) = 0，那么因为 也 将使双方重整军备. 这说明未经和解的裁 军(即不消除敌视或领土争端)是不会持久的 .4. 如果由于某种原因(如战败或协议) 在某个时候一方的军备大减，不妨设x(t0) = 0，那么因为 也将使该方重整军 备. 这说明存在不信任(k 0)或固有争端(g 0)的单方面裁军也不会持久. 21模型参数的估计 为了利用(5)式判断军备 竞赛是否会趋于稳定，需要知道, , k, l的数 值. 估计这些参数无疑是很困
5、难的，下面是 Richardson提出的一种方法1. k, l估计设x(0) = 0，当t较小时，忽略g和x的作 用，并近似地假定y = y1不变，由方程(1)得( x = ky1t) (6) 如果当t = 时x = y1, 则由(6)式得到 k 1 = (7) 这说明k 1是甲方军备从0到赶上乙方军备y1所 需的时间. 22例如德国从1933年开始重整军备，只 用了约3年的时间就赶上了它的邻国. 假设 它增加军备的固有潜力g被制约效应x所抵 消，那么可以认为德国的k 1 3年，即k 0.3.l可以类似地估计，或者合理地假定它 与国家的经济实力成正比. 这样若乙国的 经济实力是德国的2倍，则可
6、以估计l 0.6. 232. , 的估计设g = 0, y = 0，由方程(1)可得 x(t) = x(0)et 以t = 1代人算出 x( 1) = x(0)/e 这表示 1是在乙方无军备时甲方军备减少 到原来的1/e所需的时间Richardson认为 这大概是一个国家议会的任期，对于议会 任期5年的国家来说， 0.2. 24对模型和参数的粗略检验 考察第一次 世界大战前夕欧洲的两个国家同盟法 俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.两个同盟的经济实力大致相等，且约 为德国的3倍，因为德国的k 0.3，所以这 两个同盟的k = l 0.9. 同时假定 = 0.2 ，那么由于 kl，(5)式不成立，
7、它们的 军备竞赛不会趋向稳定 25事实上，当时两个同盟之间既有军备 竞赛也有贸易往来. 用x1, y1表示双方的军 事预算，x2, y2表示双方的贸易往来，从军 事预算中扣除贸易往来作为双方的军备， 即x = x1 x2, y = y1 y2. 以k = l, = 代人 方程(1)，并将两式相加得到(8)或写作 26(9)式表明，x1 + y1与它的变化率的关系是线性的 . 为了与实际数据比较，表1列出了两个同盟从1909年 到1913年的军事预算，表中第5行(x1 + y1)是(x1 + y1) 的年增加量，最后一行是相应的年平均值. 表l 两个同盟的军事预算(以百万英镑为单位) 19091
8、910191119121913法俄x1115.3119.4127.8145.0166.7德奥匈y183.985.487.193.7122.3x1 + y1199.2204.8214.9238.7289.0(x1 + y1)5.610.123.850.3202.0209.8226.8263.827比较(9)和(10)式，(10)式的线性关系粗略 地说明本节介绍的模型具有一定的合理性. 同 时得到的k = 0.73也与前面给出的估值k 0.9, 0.2相符，由军事预算体现的军备将继 续增加. 事实上，两个同盟问的军备竞赛终于 引发了第一次世界大战评注 用如此简单的模型描述错综复杂的 军备竞赛过程也许难以令人信服，但是如果你 没有更深入、可靠的知识去建立更满意的模型 ，那就不妨先做象本节这样的尝试. 这种简化 模型既是进一步研究的基础，也是建模方法的 练习. 28
