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1、第二章 平面向量2.5 从力做的功到向量的数量积【探究新知】 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义?力做的功:W = |F|s|cos是F与s的夹角问对一般的向量a和b,如何定义这种运算?sF向量夹角的概念: = 0 = 180OO OOOOAAAAAA BBBBBBC范围0180当 = 0时,两向量同向;当 = 180时,两向量反向;当 = 90时,两向量垂直,记作ab 由于零向量的方向是不确定的,为今后方便起见,我们规定零向量可与任一向量垂直.思考与交流 1.射影的概念是如何定义的?AO OB OB1 OabAO OB OB1 Oab AO OB O(B1) Oab定义:|b|cos叫作向
2、量b在a方向上的射影(也叫投影).注意:射影也是一个数量,不是向量。当为锐角时射影为正值;当为钝角时射影为负值;当为直角时射影为0;当 = 0时射影为 |b|;当 = 180时射影为 |b|.已知两个向量a和b,它们的夹角为,我们把|a|b|cos叫作a与b的数量积(或内积).记作ab 即ab = |a|b|cos .思考与交流 2如何定义向量数量积的几何意义? 由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的 数量积哪些的性质?几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影|b|cos的乘积,或b的长度与a在b方向上射影| a |cos的乘积。性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量
3、。两个向量相等时,两向量的数量积有怎么算呢?向量长度的平方ea = ae =|a|cos(e 是单位向量)ab ab = 0当a与b同向时,ab = |a|b|;当a与b反向时,ab = |a|b|, 特别的aa = |a|2。cos = ab |a|b| (|a|b|0) |ab|a|b|巩固深化,发展思维判断下列各题正确与否: 若a = 0,则对任一向量b,有ab = 0.( )若a 0,则对任一非零向量b,有ab 0.( )若a 0,ab = 0,则b = 0.( ) 若ab = 0,则a 、b至少有一个为零.( ) 若a 0,ab = ac,则b = c.( )若ab = ac,则b
4、= c当且仅当a 0时成立.( )对任意向量a、b、c,有(ab) c a (bc).( )对任意向量a,有a2 = |a|2.( )思考与交流思考:根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义,你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律1.交换律:ab = ba2.数乘结合律:(a) b = (ab) = a ( b)3.分配律:(a + b) c = ac + bc一定要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦例题讲评例1.已知a,b都是非零向量,且a + 3b与7a 5b垂直, a 4b与7a 2b垂直,求a,b的夹角。解:由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减:2ab = b2 代入或得:a2 = b2设a、b的夹角为,则cos = ab |a|b| = 60例2.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。 证明:如图,设菱形的两边分别为a ,bCABDabABCD为菱形 |a| = |b| a b= (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0 a b 即菱形对角线互相垂直。