《数学从力做的功到向量的数量积课件北师大必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学从力做的功到向量的数量积课件北师大必修（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 平面向量2.5 从力做的功到向量的数量积【探究新知】 思考：请同学们回忆物理学中做功的含义?力做的功：W = |F|s|cos是F与s的夹角问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？sF向量夹角的概念： = 0 = 180OO OOOOAAAAAA BBBBBBC范围0180当 = 0时，两向量同向；当 = 180时，两向量反向；当 = 90时，两向量垂直，记作ab 由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量可与任一向量垂直.思考与交流 1.射影的概念是如何定义的？AO OB OB1 OabAO OB OB1 Oab AO OB O(B1) Oab定义：|b|cos叫作向
2、量b在a方向上的射影（也叫投影）.注意：射影也是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当 = 0时射影为 |b|；当 = 180时射影为 |b|.已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos叫作a与b的数量积（或内积）.记作ab 即ab = |a|b|cos .思考与交流 2如何定义向量数量积的几何意义？ 由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的 数量积哪些的性质?几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影|b|cos的乘积，或b的长度与a在b方向上射影| a |cos的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
3、。两个向量相等时，两向量的数量积有怎么算呢？向量长度的平方ea = ae =|a|cos（e 是单位向量）ab ab = 0当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = |a|b|， 特别的aa = |a|2。cos = ab |a|b| （|a|b|0） |ab|a|b|巩固深化，发展思维判断下列各题正确与否： 若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0.（ ）若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0.( )若a 0，ab = 0，则b = 0.( ) 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零.( ) 若a 0，ab = ac，则b = c.( )若ab = ac，则b
4、= c当且仅当a 0时成立.( )对任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc).( )对任意向量a，有a2 = |a|2.( )思考与交流思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律1.交换律：ab = ba2.数乘结合律：(a) b = (ab) = a ( b)3.分配律：(a + b) c = ac + bc一定要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦例题讲评例1.已知a，b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直， a 4b与7a 2b垂直，求a，b的夹角。解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为，则cos = ab |a|b| = 60例2.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证明：如图，设菱形的两边分别为a ，bCABDabABCD为菱形 |a| = |b| a b= (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0 a b 即菱形对角线互相垂直。
