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1、第三章 线性系统的时域分析法 3.1 线性系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域响应 3.3 二阶系统的时域响应 3.4 高阶系统的时域响应 3.5 稳定性分析 3.6 稳态误差计算 2 分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。 线性系统： 时域分析法， 频率法 非线性系统： 描述函数法， 相平面法 采样系统： Z 变换法 多输入多输出系统： 状态空间法 根轨迹法， 3-1 线性系统时间响应的性能指标线性系统时间响应的性能指标 3 动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设
2、计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准- 典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。 s11(t)LR(s)1(t)1A0t00tAr(t)1. 记为记为称单位阶跃函数，称单位阶跃函数，令令阶跃函数（位置函数）阶跃函数（位置函数）3.1.1典型输入信号 t f(t) 0 考查系统对恒值信号的跟踪能力 A=1，称单位斜坡函数,记为 t 1(t) 000)(ttAttr21)( 1sttL 2. 斜坡函数斜坡函数 （等速度函数）（等速度函数） t f(t) 0 考查系统对匀速信号的跟踪能力 3. 抛物线函数（等加速度函数
3、）抛物线函数（等加速度函数） 00021 )(2ttAttr)( 1212tt 321121)(sttLsR A=1，称单位抛物线函数,记为 t f(t) 0 考查系统的机动跟踪能力 4. 脉冲函数脉冲函数 1)()( tLsR 000 ttt 并有并有 1 dtt 及及t (t) 0 考查系统在脉冲扰动下的恢复情况 各函数间关系：各函数间关系： tttttt121112 求导求导积分积分求导求导积分积分求导求导积分积分 tAtr sin （5）正弦函数 22sin)( sAtALsR二二. . 阶跃响应的时域性能指标阶跃响应的时域性能指标 c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态
4、响应 + 稳态响应 1. 暂态性能指标 图32 (1) 延迟时间td：c(t)从0到0.5c()的时间。 (2)上升时间tr：c(t)第一次达到c()的时间。无超调时, c(t)从0.1 c() 到0.9 c()的时间。 (3) 峰值时间tp： c(t)到达第一个峰值的时间 (4)调节时间ts： c(t)衰减到与稳态值之差不超过2%或5%所需的 时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号表示， 即 =2%或 =5% 。 (5)超调量s%：c(t) 最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示 ，描述的系统的平稳性。 %)()()(%100 cctcMp p2. 稳态性能指标 稳态误差ess：稳定系统误
5、差的终值。即 )(limtee tss 最后一节细讲。 凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。 TRC，时间常数。 其典型传递函数及结构图为： )()()(trtcdttdcT 11 )()()( TssRsCs 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 R C r(t) c(t) 1 Ts + R(s) C(s) 1 Ts+1 R(s) C(s) t c(t) T 2T 3T 4T 当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。 01 t ec(t)TtTsssTssRssC1111 11 )()()(3.2.
6、1 单位阶跃响应 响应曲线在0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。 无振荡 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：c(ts) 1 = ( 取5%或2%) Tts e %)2(4%)5(3TtTtss一阶系统响应具备两个 重要的特点： 可以用时间常数T去度量 系统输出量的数值。 响应曲线的初始斜率等于 1/T。 T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。 01 t ec(t)Tt3
7、.2.2 单位斜坡响应 r(t) = t TsT sT ssTssC111 1122 )()0( )(/ tTeTttcTtt c(t) 0 c(t) = t T + Tet/T 稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。 T T 稳态分量（跟踪 项+常值） Ttc )(表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。 比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线： 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小， 最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也 最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的
8、位置误差随时间而增大， 最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等 于0。有差跟踪。 0 t c(t) 1.0 t c(t) 0 T T 3.2.3 单位脉冲响应 R(s)=1 11)( TssC它恰是系统的闭环传函，这 时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 Tt eTtCth 1)()(脉冲求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。 )()(tCdtdtC斜坡阶跃 )()(tCdtdtC阶跃脉冲 )()(trdtdtr斜坡阶跃 )()(trdtdtr阶跃脉冲 对应 T 2T 3T t h(t) 0 1
9、/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 线性定常系统的重要性质 )()()(sRsGsCB )()()()()()(1ssCssRsGdttdrLsGsCBB dttdctc)()(1 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。 )(1)()()()()(2sCsssRsGdttrLsGsCBB dttyty)()(21.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。 3.3.1 二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为： 闭环传递函数为 222222 )2(1)
10、2()(nnnnnnnss sssss 二阶系统有两个结构参数 (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 s(s+2n) R(s) C(s) n2 + 微分方程式为：微分方程式为： 对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的 含义是不同的。 )()()()(22 trtcdttdcRCdttcdLC 222222121 )()()(nnn ssTssTsRsCs 零初条件零初条件LCT LCR 2 Tn/1 例如: RLC电路 R C r(t) c(t) L j s 0 3.3.2 二阶系统的闭环极
11、点 二阶系统的闭环特征方程，即 s 2 + 2n s + n2 = 0 其两个特征根为： 12 2, 1 nns上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有 不同的分布规律。分述如下： s1 s2 (1) 1 时，特征根为一对不等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。 (3) 0 1 = 1 0 0变化率为正，c(t) 单调上升； t ，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调， 稳态误差0。 )0( )(11)( ttetcntn sssCnn122 )()( t c(t) 0 1 nnn sss 112)(（4
12、4）过阻尼情况）过阻尼情况 1 引入等效时间常数12 2, 1 nns响应特性包含两个单调衰减的指数项， 且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。 （不同于一阶系统） 1/1/1)(21/12/21 TTe TTetcTtTt)1(121 nT)1(122 nTsTsTssCn1 11212 )/)(/()( )/)(/()/)(/(221112111 1111 TsTTTsTTs 0 t c(t) 1.0 ts （5）不稳定系统不稳定系统 1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度 慢； 3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡； 4）0 0 ( i, j =1,2, , n) 即，闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满 足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面 给现系统稳定的充分必要条件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该 方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。 若不满足，则不稳定 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式
