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1、洛必达法则洛必达法则 (LHospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。设(1) 当 xa时，函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零；(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x)及 F(x) 都存在且 F(x) 0；(3) 当 xa时 lim f(x)/F(x)存在( 或为无穷大 )，那么xa时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。再设(1) 当 x时，函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零；(2) 当|x|N 时 f(x)及 F(x) 都存在，且 F(x) 0；(3) 当 x时 lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大 ) ，那么
2、x时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0 或/ 型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用， 应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用， 直到求出极限为止。洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等 . 泰勒公式（ Taylors
3、formula）泰勒中值定理：若函数f(x) 在开区间（ a，b）有直到 n+1 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.) 多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!*(x-x.)2,+f(x.)/3!*(x-x.)3+ +f(n)(x.)/n!*(x-x.)n+Rn 其中 Rn=f(n+1)( )/(n+1)!*(x-x.)(n+1),这里 在 x 和 x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。（注： f(n)(x.)是 f(x.)的 n 阶导数，不是 f(n) 与 x. 的相乘。）证明我们知道 f(x)=f(x.)+f(x.)(x
4、-x.)+（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有lim x0 f(x.+ x)-f(x.)=f(x.)x），其中误差 是在 lim x0 即limx x. 的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)2+ +An(x-x.)n 来近似地表示函数f(x) 且要写出其误差 f(x)-P(x)的具体表达式。设函数 P(x) 满足P(x.)=f(x.),P(x.)=f(x.),P(x.)=f(x.),P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、 An。显然， P(
5、x.)=A0,所以 A0=f(x.) ；P(x.)=A1,A1=f(x.)；P(x.)=2!A2,A2=f(x.)/2!P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)2+ +f(n)(x.)/n!?(x-x.)n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn(x.)=Rn(x.)=Rn(n)(x.)=0 。 根据柯西中值定理可得 Rn(x)/(x-x.)(n+1)=（Rn
6、(x)-Rn(x.)）/ （(x-x.)(n+1)-0）=Rn( 1)/(n+1)(1-x.)n(注：(x.-x.)(n+1)=0),这里 1 在 x和 x. 之间；继续使用柯西中值定理得（Rn( 1)-Rn(x.)）/（(n+1)( 1-x.)n-0）=Rn( 2)/n(n+1)(2-x.)(n-1)这里 2在 1 与 x. 之间；连续使用 n+1 次后得出Rn(x)/(x-x.)(n+1)=Rn(n+1)()/(n+1)!，这里 在 x. 和 x 之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于 P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故 P(n+1)(x
7、)=0 ， 于是得 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。 综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x 往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为 Rn 。 麦克劳林展开式：若函数 f(x) 在开区间（ a，b）有直到 n+1 阶的导数，则当函数在此区间内时， 可以展开为一个关于x 多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!?x2,+f(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+Rn 其中 Rn=f(n+1)( x)/(n+1)!?x(n+1),这里 01。证明： 如果我们要用
8、一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x2+ +Anxn来近似表示函数 f(x) 且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0 时的特殊形式：f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!?x2,+f(0)/3!?x3+ +f(n)(0)/n!?xn+f(n+1)()/(n+1)!?x(n+1) 由于 在 0 到 x 之间，故可写作 x，01。 麦克劳林展开式的应用：1、展开三角函数 y=sinx 和 y=cosx。解：根据导数表得： f(x)=sinx , f(x)=cosx , f(x)=-sinx , f(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx 于
9、是得出了周期规律。分别算出f(0)=0 ，f(0)=1, f(x)=0, f(0)=-1, f(4)=0 最后可得： sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+x9/9!-（这里就写成无穷级数的形式了。）类似地，可以展开y=cosx。2、计算近似值 e=lim x (1+1/x)x。解：对指数函数 y=ex 运用麦克劳林展开式并舍弃余项：ex1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n! 当 x=1 时，e1+1+1/2!+1/3!+ +1/n! 取 n=10,即可算出近似值 e2.7182818。3、欧拉公式： eix=cosx+isinx（i 为-1 的开方，即一个虚数单位）证明：这个
10、公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了， 就把思路讲一下：先展开指数函数ez，然后把各项中的z 写成 ix 。由于 i的幂周期性， 可已把系数中含有土i 的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx 乘上提出的 i ，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。泰勒展开式原理e的发现始于微分 , 当 h 逐渐接近零时 ,计算 之值, 其结果无限接近一定值 2.71828.,这个定值就是 e, 最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数 . 计算对数函
11、数的导数 , 得 , 当 a=e 时, 的导数为 , 因而有理由使用以 e 为底的对数 , 这叫作自然对数 . 若将指数函数 ex 作泰勒展开 , 则得以 x=1 代入上式得此级数收敛迅速 ,e 近似到小数点后 40 位的数值是将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时, 由透过这个级数的计算 , 可得由此,De Moivre 定理, 三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出 . 譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面 , 所以, 我们不仅可以证明 e 是无理数 , 而且它还是个超越数 ,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在 187
12、3 年得到的 . 甲)差分. 考虑一个离散函数 (即数列 ) R, 它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列 ,它在 n 所取的值以定义为以后我们干脆就把简记为(例): 数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, . 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 . 注: 我们说数列是定义在离散点上的函数如果在高中,这样的说法就很恶劣 . 但在此地 , 却很恰当 , 因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推 . 差分算子的性质(i) 合称线性 (ii) (常数) 差分方程根本定理 (iii) 其中 , 而 (n(k) 叫
13、做排列数列 . (iv) 叫做自然等比数列 . (iv) 一般的指数数列 (几何数列 )rn 之差分数列 ( 即 导函数)为 rn(r-1) (乙). 和分给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢我们有下面重要的结果 : 定理 1 ( 差和分根本定理 ) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 , 则和分也具有线性的性质 : 甲)微分给一个函数 f, 若牛顿商 ( 或差分商 ) 的极限 存在, 则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数 , 记为 f(x0) 或 Df(x),亦即若 f 在定义区域上每一点导数都存在, 则称 f 为可导微函数 .我们称 为 f 的导函数 ,而
14、 叫做微分算子 . 微分算子的性质 : (i) 合称线性 (ii) (常数) 差分方程根本定理 (iii) Dxn=nxn-1 (iv) Dex=ex (iv) 一般的指数数列 ax 之导函数为(乙)积分. 设 f 为定义在 a,b 上的函数 , 积分的问题就是要算阴影的面积. 我们的办法是对 a,b 作分割: ; 其次对每一小段 xi-1,xi 取一个样本点 ; 再求近似和 ; 最后再取极限 ( 让每一小段的长度都趋近于 0). 若这个极限值存在 ,我们就记为的几何意义就是阴影的面积. (事实上 , 连续性也差不多是积分存在的必要条件.) 积分算子也具有线性的性质: 定理 2 若 f 为一连
15、续函数 , 则 存在.( 事实上 , 连续性也差不多是积分存在的必要条件.) 定理 3 ( 微积分根本定理 ) 设 f 为定义在闭区间 a,b 上的连续函数 , 我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数 g, 使得 g=f,则注:(1)(2)两式虽是类推 , 但有一点点差异 , 即和分的上限要很小心! 上面定理 1 及定理 3 基本上都表述着差分与和分, 微分与积分 ,是两个互逆的操作 ,就好像加法与减法 , 乘法与除法是互逆的操作一样. 我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理 1 及定理 3 告诉我们 ,要计算 (un) 的和分及 f 的积分 ,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g=f (这是差分及微分的问题 ), 那么对vn 及 g 代入上下限就得到答案了. 换句话说 , 我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作, 这就是“以简御繁 “的精神. 牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此. 甲)Taylor展开公式这分别有离散与连续的类推.它是数学中逼近这个重要想法的一个特例 . 逼近想法的意思是这样的:
