数学思想方法在中考中应用

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1、数学思想方法在中考解题中的应用 数学思想是指现实现实 世界的空间间形式和数量 关系反映到人们们的意识识之中，经过经过 思维维活动动而 产产生的结结果要提高我们们分析和解决问题问题 的能 力，形成用数学的意识识解决问题问题 ，这这些都离不 开数学思想 数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思 想、分类讨论思想、转化（化归）思想、统计思想、 整体思想等能否运用数学思想方法进行分析问题、 解决问题关系到中考的成败纵观各年的中考试题， 在注重考察数学核心内容与基本能力的同时，考题中 都突出了数学思想方法的理解和简单运用 方程与函数的思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定 未知数,运用定

2、义、公式、性质、定理及条件,把所研究 的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程, 从而使问题得到解决方程思想在数学解题中所占比 重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活 问题1(07河北省) 一种药品经过两次降价后，每盒的 价格由原来的60元降至486元，那么平均每次降价的 百分率是 10% 问题2（07山东泰安市 ）某书店老板去图书批发市场购 买某种图书第一次用1200元购书若干本，并按该书定价 7元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每 本书的批发价比第一次提高了1元，他用1500元所购该书 数量比第一次多10本当按定价售出200本时，出现滞销 ，便以定价的4折售完剩余的书试问

3、该老板这两次售书 总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔 钱，赔多少？若赚钱，赚多少？解：设第一次购书的进价为x元，则第二次购书的进价 为（x1）元根据题意得： 去分母，整理得 解之得： ，经检验，x1 5 ， x 224 都是原方程的解每本书的定价为7元，只取x5所以第一次购书为 （本）第二次购书为24010=250（本）第一次赚钱为 240（75）=480（元），第二次赚钱为所以两次共赚钱 48040=520（元）（元 ）答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元函数思想就是抛开所研究对象的非数学特征，用联 系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建 立各变量之间固有

4、的函数关系，通过函数形式，利用 有关函数的性质，使问题得到解决问题3(07内蒙古赤峰)如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正 方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形， 设穿过时间为，正方形除去圆部分的面积为（阴影部分），则与 的大致图象为（ ）st OAst OBst OCst ODA 问题4(07黑龙江)甲、乙二人骑自行车同时从张庄 出发，沿同一路线去李庄甲行驶20分钟因事耽误一 会儿，事后继续按原速行驶下图表示甲、乙二人骑 自行车行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图 像（全程），根据图像回答下列问题： （1）乙比甲晚多长时间到达李庄？ （2）甲因事耽误了多长时间？ （

5、3）x为何值时，乙行驶的路 程比甲行驶的路程多1千米？（千米）（分）1510206080甲乙解:设直线OD的解析式为 由题意可得当y=15时,故乙比甲晚10分钟到达李庄 设直线BC的解析式为由题意可得由图象可知甲20分钟行驶的路程为5千米，故甲因事耽误了20分钟分两种情况： 当x为36 或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多 千米该题集中考考查同学们对图象的观察能力和对一次 函数应用的理解能力要掌握利用不同条件求一次函 数解析式样方法，理解一次函数解析式的多种形式 问题5(07江西）如图，在 AB=8 ，AC=6,若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止 ，运动速度为每秒2个单位长度过点D

6、作 DEBC 交AC 于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y求出 y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 当 x为何值时，BDE的面积有s最大值，最大值为多少？又AB=8，AC=6,AD=8-2x,AE=y,自变量的取值范围为 :AEDBC解: DEBC当x=2时，s有最大值，且最大值为6 （或用顶点公式求最大值）问题6(2007年安阳市九年级调研测试题)如图，RtABCRtADE，A=900，BC和DE 交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距 离是_一般解法：经过添加辅助线， 利用相似三角形的判定和性质，解 方程等步骤得到结果解：如图，建立平面直角坐标系，则B（

7、0，4），E（0，3），C（3，0），D（4，0） 故直线BC的解析式为：直线ED的解析式为：求两直线交点坐标，联立上述两个解析式解方程组即 得：x=启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维 量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定 的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出 奇制胜的作用问题7(07宿迁市) 如图，圆在正方形的内部沿着正方形 的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表 示出来；（2）当圆的直径等于正方形 的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方 形的区域的面积是否最大？并说明理由圆运动一周覆盖正方形的区域用阴

8、影表示如下：解 ：圆的直径等于正方形的边长一半时，覆盖区域的面积不是最大.理由如下：设正方形的边长为a，圆的半径为r 覆盖区域的面积为S圆在正方形的内部，0ra/2 由图可知：圆的直径等于正方形的边长一半 时，面积不是最大数形结合思想“数以形而直观，形以数而入微”数形结合 思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之 间的相互转化来研究和解决数学问题的思想数形结合思想是初中数学中一种重要的思想方法 用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数 轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立 方程(组)或建立函数关系式等 问题8（07湖北天门市

9、 ）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围 是 热点内容(1)利用数轴解不等式(组)(2)研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系 数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有 关的问题(3)研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形 状、位置等问题(4)运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行 有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题问题9（07湖北恩施）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点 之一，全线共有隧道37座，共计长达7424212米下图是正在修 建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道 CD总宽度为8米，隧道为双行线2车道 (1)建立恰当的

10、平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在的平面 直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶）与隧道 拱在竖直方向上高度之差至少有05米现有一辆汽车，装载货物 后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为25米，该车 能否通过这个隧道？请说明理由解：(1)以EF所在直线为x轴,经过H且垂直于EF的直线为 y轴, 建立平面直角坐标系, 显然E(-5,0),F(5,0),H(0,3) 设抛物线的解析式为: 依题意有: 所以y= (2)y=1, 路灯的位置为( ,1)或(- ,1) (3)当x

11、=4时,y= =108 点到地面的距离为108+2=308 因为308-05=25825，所以能通过分类讨论思想 在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素,解 答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述,对这类问 题依情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这种解题的方 法叫分类讨论法,它是一种极其重要的数学思想方法分类 讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起 分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出 现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求 解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面: （1）由数学概念、性质

12、、定理、公式的限制条件引起的讨论； （2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由 于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的 讨论问题10（07山东东营）某公司专销产品A，第一批 产品A上市40天内全部售完该公司对第一批产品A上 市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图 所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上 市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品A的销 售利润与上市时间的关系（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市 时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日 销售利润最大？最大利润是多少万元？y 销售利润/（元/件

13、）t /天402060O图 11y 日销售量/万件t /天403060O图 10解：(1) 由图10可得， 当0t30时，设市场的日销售量ykt 点（30，60）在图象上， 6030k k2即 y2 t 当30t40时，设市场的日销售量yk1t+b 因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 解得 k16，b240 y6t240 综上可知，当0t30时，市场的日销售量y2t；当30t40时，市场的日销售量y6t240(2) 方法一：由图11得，当0t20时，每件产品的日销售利润为y3t； 当20t40时，每件产品的日销售利润为y60 当0t20时，产品的日销售利润y3t2t6t2； 当t

14、20时，产品的日销售利润y最大等于2400万元 当20t30时，产品的日销售利润y602t =120t 当t30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元；当30t40时，产品的日销售利润y60 (6t240)； 当t30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元综上可知，当t30天时，这家公司市场的日销售利润最大为 3600万元方法二：由图10知，当t30（天）时，市场的日销售量达到 最大60万件；又由图11知，当t30（天）时产品的日销售利润达 到最大60元/件所以当t30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为 3600万元 在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）（1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点当t取何值时 ，TOP是等腰三角形？xy0P情况一:OP=OT情况二:PO=PT情况三:TO=TPT3(-4,0)问题11在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）xy0PA（1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点当t取何值时 ，TOP是等腰三角形？(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A点T为坐标系中的一点以 点AOPT为顶点的四边形 为平行四边形,请写出点T的坐标 ?问题11(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A点T为坐标系中的一点以 点AOPT为顶点的四边形 为平行四边形,请写出点T的坐标 ?在平面直角坐标系