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1、高三 数学 第 1 页（共 12 页） 高三 数学 第 2 页（共 12 页） 上海市延安中学上海市延安中学 2015 学年第二学期适应性考试学年第二学期适应性考试 高三年级高三年级 数学数学（文文科科）试卷试卷 一、 填空题（本题满分 56 分，每小题 4 分） 151x 的展开式中，2x的系数为 10 2已知集合2*30,Ax xxxN，则用列举法表示集合A_1,2 3若2log1042x，则x _4 4若3sin,5为第二象限角，则sin2的值为_24 25 5函数 22f xxx 的反函数是_ 14fxx x 6在ABC中，4ABC,2AB ,3BC ,则AC _5 7已知双曲线222
2、21xy ab的一条渐近线过点4,3，且双曲线的一个焦点在抛物线220yx的准线上，则双曲线的方程为_22 1169xy 8将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，那么不同的分法种数 是_240 9在复平面上，已知复数1z与2z的对应点关于直线yx对称，且满足129iz z ，则1z _3 10已知数列 na是公差为1的等差数列，则2 limnnna S= 2 11设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为1S、2S，体积为1V、2V，若它们的侧面积相等且129 4S S，则12V V的值是 3 212已知函数 3sin4cosf xxx，若对任意xR均有 f xf，则ta
3、n的值等于_3 4高三 数学 第 3 页（共 12 页） 高三 数学 第 4 页（共 12 页） 13如图所示，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到类比这种 方 法 ， 一 个 相 对 棱 长 都 相 等 的 四 面 体ABCD， 其 三 组 棱 长 分 别 为5ABCD,13ADBC,10ACBD，则此四面体的体积为_2 （13 题） （14 题） 14 已知椭圆2 2 12:11xCyaa与双曲线2 2 22:10xCymm有公共焦点1F、2F， 两曲线在第一象限交于点P，PI是12F PF的角平分线，O为坐标原点，1FG垂直射线PI于H点若1OH
4、，则a 3 二、选择题（本题满分 20 分，每小题 5 分） 15已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是 （ ）D （A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 16 已知定义在R上的函数 12x mf x （m为实数） 为偶函数， 记0.5log3af，2log 5bf，2cfm ，则a、b、c的大小关系为 （ ）C （A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 17 “0a ”是“函数 1f xaxx在区间0,上递增”的 （ ）
5、 C （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 18 已知数列 na满足1223nn naaa，其首项1aa若数列 na是单调递增数列，则实数a的取值范围是 （ D ） （A）,12,（B）0,12, （C）2, （D）10,2,2 DCBADCBA高三 数学 第 5 页（共 12 页） 高三 数学 第 6 页（共 12 页） 三、解答题（本题满分 74 分） 19.（本题满分 12 分）如图 1，长方体ABCDEFGH，底面是正方形，P为AH中点，图 2 是该几何体的左视图 （1）求四棱锥FABCD的体积； （5 分） （2） 正方形ABCD内
6、（包括边界） 是否存在点M， 使三棱锥PAMB体积是四棱锥FABCD体积的1 8？若存在，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图 1 中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由 （7 分） 图 1 图 2 19 （1）2112 32833FABCDABCDVSDH 4 分 （2）设点M 到AB距离为h，因为点P到平面AMB的距离为 1， 所以1 12 313 2P AMBVh，所以3h ， 8 分 满足要求的点M的轨迹是AD中点和BC中点的连线段 12 分 20 （本题满分 14 分） 已知函数 2 3sinsinsin4242xxf xx， 若函数 g x的图像与函数 f x的图像关于y轴对称 （1）
7、求函数 g x的解析式； （6 分） （2）若存在0,2x，使等式 20g xg xm 成立，求实数m的取值范围 （8 分） （1） 2 3sinsinsin4242xxf xx3sinsin2xxsin3cos2sin3xxx 设函数 g x图像上任意一点,P x y，则点P关于y轴对称的点的坐标为,Qx y， 因 为 点Q在 函 数 f x的 图 像 上 ， 所 以2sin3yx ， 即 2sin3g xx6 分 （2） （2）当02x时，633x，13sin232x，可知 13g x ， 10 分 令 g xt， 则 关 于t的 方 程20ttm 在1, 3上 有 解 ， 即2mtt 在
8、1, 3上 有 解 ， 12 分 所以2 21112,244mttt 14 分 PGHFBEADC2 32高三 数学 第 7 页（共 12 页） 高三 数学 第 8 页（共 12 页） 21 （本题满分 14 分）某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中0,025Ett ，GF是圆的切线，且GFAD；曲线BC是抛物线2500yaxa 的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径 （1）若30CD 米，24 5AD 米，求t与a的值； （7 分） （2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围 （7 分） 解： （1）因为圆E
9、的半径为50OBOEt，所以5030CDt ，20t 3 分 令25050yaxt ， 得tODa， 圆222:2030E xy， 令0y ， 得10 5AO ， 所 以24 510 514 5ODADOA，即14 5t a，又20t ，得1 49a 7 分 （2） ，50tDFOFODta 由题意得 5075tta 对0,25t恒成立， 所以125tat恒成立，当25tt即 25t 时，min2510tt， 12 分 。所以110a，解得1 100a 22 （本题满分 16 分）定义：直线关于圆的圆心距单位=圆心到直线的距离与圆的半径之比 （1）设圆22 0:1Cxy，求过点2,0P的直线关
10、于圆0C的圆心距单位3的直线方程 （4 分） （2）若圆C与x轴相切于点3,0A，且直线yx关于圆C的圆心距单位2，求此圆C的方程 （5 分） （ 3 ） 是 否 存 在 点P， 使 过P的 任 意 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 分 别 关 于 相 应 两 圆22 1:11Cxy与22 2:334Cxy的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由 （7 分） （1）因为圆的半径为 1，所以圆心距单位3等价于圆心到直线的距离等于3， 设直线方程为2yk x，则22311kk ，解得3k ， 所以所求直线方程为32yx 4 分 （2）设所求圆方程为2223xyrr或
11、2223xyrr， 又直线yx关于圆C的圆心距单位2， GAEBCDyxOF高三 数学 第 9 页（共 12 页） 高三 数学 第 10 页（共 12 页） 所以圆心到直线的距离为2r，即322rr，解得1r 或3r ， 所以圆方程为22311xy或22339xy 9 分 （3）解法 1：设存在点,P m n， 过点P的任意两条直线为ynk xm和1ynxmk 10 分 由11221,0 ,1,3,3 ,2CrCr 得 22331121mnkkmnkkk k ， 11 分 则 21230mnknm恒成立或者25230mnknm 恒成立， 14 分 即 21230mnnm 或 25230mnnm ， 15 分 求得 1, 1P和7 11,5 5P 16 分 解法 2：当圆
