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1、11、约束及其分类定义：凡是强加于系统而限制其运动的条件统称为约束条件，简称约束。约束的数学表示形式称为约束方 程。、约束及其分类定义：凡是强加于系统而限制其运动的条件统称为约束条件，简称约束。约束的数学表示形式称为约束方 程。0),(321321=tuuuuuufNNl?), 2 , 1(ml=?0310=+ =Nklklkdtadua), 2 , 1(ml=?其中：其中：),( ),(32100321tuuuaatuuuaaNllNlklk?=复习与回顾复习与回顾(1)完整约束和非完整约束完整约束完整约束和非完整约束完整约束(几何约束几何约束)：约束方程仅是位形和时间的函数。：约束方程仅是
2、位形和时间的函数。 0),(21=trrrfNj?或或0),(321=tuuufNj?), 2 , 1(mj?=说明：说明：可积的微分约束是完整约束；完整约束可分为定常约束可积的微分约束是完整约束；完整约束可分为定常约束 ( 不显含时间不显含时间 t ) 和非定常约束和非定常约束 ( 显含时间显含时间 t )；所受约束均为完整约束的称为完整力学系统。；所受约束均为完整约束的称为完整力学系统。2（2）双面约束与单面约束双面约束：在约束条件下，对所有的可能微小位移都是可逆的。双面约束的约束方程是以等号出现的。（双面约束与单面约束双面约束：在约束条件下，对所有的可能微小位移都是可逆的。双面约束的约束
3、方程是以等号出现的。（3）稳定约束与不稳定约束稳定约束（固定约束）：约束方程中不显含时间）稳定约束与不稳定约束稳定约束（固定约束）：约束方程中不显含时间t的；不稳定约束（活动约束）：约束方程中显含时间的；不稳定约束（活动约束）：约束方程中显含时间t的。的。2、各种位移 （各种位移 （1）实位移（）实位移（）ird?定义：实际运动中系统各质点的位移。实位移除了要遵守约束方程外，还需服从运动规律。（定义：实际运动中系统各质点的位移。实位移除了要遵守约束方程外，还需服从运动规律。（2）可能位移定义：约束允许条件下系统内各质点的位移。实位移与可能位移的关系：都遵从约束方程；如果系统内有）可能位移定义：
4、约束允许条件下系统内各质点的位移。实位移与可能位移的关系：都遵从约束方程；如果系统内有N 个质点，且受个质点，且受m 组完整约束和组完整约束和m组非完整约束：组非完整约束：3如果如果Nmm3=+,则实位移等于可能位移；如果,则实位移等于可能位移；如果Nmm3+，则实位移是可能位移中的一组。）（，则实位移是可能位移中的一组。）（3）虚位移（）虚位移（ir?定义：在约束条件下，某时刻定义：在约束条件下，某时刻t，我们想象系统中各质点的位置有一任意的无限小变更，此形成的位移称作虚位移。注：虚位移是一种试探，是不需要时间的，它所遵从的约束是，我们想象系统中各质点的位置有一任意的无限小变更，此形成的位移
5、称作虚位移。注：虚位移是一种试探，是不需要时间的，它所遵从的约束是t时刻的，而不是时刻的，而不是dtt +时刻的，故其是等时的位置变分。时刻的，故其是等时的位置变分。虚位移所遵从的约束方程：虚位移所遵从的约束方程：031= =Nkk kjuuf), 2 , 1(mj?=031= =Nkklkua), 2 , 1(ml=?小结：当系统受到定常约束（小结：当系统受到定常约束（0=tfj）和）和00=la的非完整约束时，可能位移与虚位移相同，且实位移也属虚位移之列；的非完整约束时，可能位移与虚位移相同，且实位移也属虚位移之列；4当系统受到非定常约束或非完整约束中，当系统受到非定常约束或非完整约束中，
6、00la则可能位移不同于虚位移，且实位移也不属于虚位移之列。则可能位移不同于虚位移，且实位移也不属于虚位移之列。SSAA3、广义坐标、广义坐标定义：在约束的条件下，某时刻能确定系统位形的一组独立变数，就称为系统的广义坐标。通常用（）表示。定义：在约束的条件下，某时刻能确定系统位形的一组独立变数，就称为系统的广义坐标。通常用（）表示。sqqq,21?（1）变换方程旧（直角坐标）新（广义坐标）之间的关系式称为变换 方程。（）变换方程旧（直角坐标）新（广义坐标）之间的关系式称为变换 方程。（2）说明）说明 广义坐标不唯一 广义坐标不唯一,但数目唯一但数目唯一;属于系统属于系统;是是t 的单值、连续函
7、数，并且可微，为广义速度的单值、连续函数，并且可微，为广义速度;dtdqq =?选取靠观察选取靠观察;54、自由度定义：表征体系自由运动的程度。自由度的个数是等于体系的独立坐标的变分数，通常用、自由度定义：表征体系自由运动的程度。自由度的个数是等于体系的独立坐标的变分数，通常用 n 来表示。对于完整力学体系：自由度数目为：来表示。对于完整力学体系：自由度数目为：mNn= 3广义坐标数目为：广义坐标数目为：mNs= 3如果体系受到如果体系受到 m 组完整约束：对于非完整力学体系：如果有组完整约束：对于非完整力学体系：如果有 m 组完整约束，组完整约束，m组非完整约束：自由度数目为：组非完整约束：
8、自由度数目为：mmNn= 3广义坐标数目为：广义坐标数目为：mNs= 35、位形空间定义：由、位形空间定义：由 s 个广义坐标个广义坐标sqqq,21?所构成的空间。所构成的空间。6二、虚功原理二、虚功原理1、系统平衡位形的定义：对于惯性系来说，系统于某时刻处于某种位形，系统内各质点的速度为零，并且在以后的全部时间内均处于此位形，则该位形为平衡位形，简称静平衡。、系统平衡位形的定义：对于惯性系来说，系统于某时刻处于某种位形，系统内各质点的速度为零，并且在以后的全部时间内均处于此位形，则该位形为平衡位形，简称静平衡。2、虚功原理内容：对于初始处于静止，并受有定常的理想约束的体系来说，其静平衡的充
9、要条件是：所有作用于体系上的主动力（除约束力以外的力）在任意的虚位移中所作的虚功的总和为零。、虚功原理内容：对于初始处于静止，并受有定常的理想约束的体系来说，其静平衡的充要条件是：所有作用于体系上的主动力（除约束力以外的力）在任意的虚位移中所作的虚功的总和为零。0 1= =NiiirF?3、广义坐标形式下的虚功原理定义：广义力：、广义坐标形式下的虚功原理定义：广义力： =Niki ikqrFQ1?0=kkkqQW对于完整力学体系来说，由于对于完整力学体系来说，由于kq是独立变分，故是独立变分，故) , , 2 , 1( 0skQk?=保守力学系统处于平衡位形的充要条件是势能取稳定值 。保守力学
10、系统处于平衡位形的充要条件是势能取稳定值 。 =NiiiVrFW10?7小结：求广义力的几种方法：小结：求广义力的几种方法：a、定义：、定义：=iki ikqrFQ?b、虚功原理：、虚功原理：=ikkkiiqQrFW0?c、保守力学系统：、保守力学系统：kkqVQ=解题步骤：解题步骤：a、确定自由度，选取广义坐标，根据约束条件，分析如何确定系统的位形。、确定自由度，选取广义坐标，根据约束条件，分析如何确定系统的位形。b、建立坐标系，写出主动力，并用广义坐标表示、建立坐标系，写出主动力，并用广义坐标表示有用坐标有用坐标；c 、找出相应的广义力。、找出相应的广义力。8tan3tan=90=+CDc
11、xTxTyW0)sin2csc()cos(cos2=+laWlTTl0)sin2csc(cos22=+laWlT) 1csc2(tan)sin2csc(cos222=laWlalWT三、达朗贝尔原理与达朗贝尔方程三、达朗贝尔原理与达朗贝尔方程达朗贝尔原理：在运动的每一瞬间所有作用在力学系统上的主动力、约束力及惯性力之和保持平衡。达朗贝尔原理：在运动的每一瞬间所有作用在力学系统上的主动力、约束力及惯性力之和保持平衡。2、动力学的普遍方程、动力学的普遍方程1、达朗贝尔原理、达朗贝尔原理0)(= iiiiirrmF? ?称称iiirmF? ?为有效力。在理想约束下，有效力的虚功和为零。说明：动力学普
12、遍方程与虚功原理相比较有以下三点推广；为有效力。在理想约束下，有效力的虚功和为零。说明：动力学普遍方程与虚功原理相比较有以下三点推广；a. 主动力推广到有效力；主动力推广到有效力；b. 静力学推广到了动力学；静力学推广到了动力学；c. 定常约束推广到了非定常约束。定常约束推广到了非定常约束。10此式仍是对惯性系成立； 此式仍是对惯性系成立； ir?并不是独立的变分；方程形式与坐标的选取有关。并不是独立的变分；方程形式与坐标的选取有关。 四、完整力学体系的拉格朗日方程四、完整力学体系的拉格朗日方程一、几个关系式的证明一、几个关系式的证明1、1( , )s ii iik kkrrrr q tqqt
13、=+?2、kiki qr qr =?3、kiki qr qr dtd =? )()()(dtd qqdtdkk=二、齐次函数的定义和欧拉齐次定理定义：如果函数二、齐次函数的定义和欧拉齐次定理定义：如果函数),(zyxfu =的自变量都是增加为原来的倍，函数的自变量都是增加为原来的倍，函数 u 变为原来的变为原来的n倍，则称 函数倍，则称 函数u为为n次齐函数。欧拉齐次定理： 函数次齐函数。欧拉齐次定理： 函数),(zyxfu=是是 n 次齐函数的充要条件为：次齐函数的充要条件为：nfzfzyfyxfx=+11)(2212111,trqtr qrqqqr qrmTiskkiki lk liNis
14、lkki i+ += =? ? ?T2，T1，T0 分别是广义速度分别是广义速度q?的二次齐式、一次齐式和零次齐式。由此可知，体系的动能的二次齐式、一次齐式和零次齐式。由此可知，体系的动能T是广义速度的二次函数，但一般不是齐次函数，只有约束都 是稳定约束时，（即）是广义速度的二次函数，但一般不是齐次函数，只有约束都 是稳定约束时，（即）T才是广义速度的二次 齐式。才是广义速度的二次 齐式。0= tri?CqBqqAskkklkslkkl+= =11,?012TTT+=), 2 , 1()(skQqT qT dtdk kk?= 四、完整力学体系的拉氏方程四、完整力学体系的拉氏方程定义拉格朗日函数
15、：定义拉格朗日函数：),(tqqLVTL?=knc kkQqL qL dtd=)(?对完整具势组（体系所受约束均为完整约束，主动力 均为保守力）来说，拉氏方程的形式为：对完整具势组（体系所受约束均为完整约束，主动力 均为保守力）来说，拉氏方程的形式为：0)(=kkqL qL dtd ?12说明： 拉格朗日方程的应用条件为：惯性参考系下受理想约束的完整力学体系； 拉氏方程与动力学普遍方程是等价的，是普遍方程在广义坐标中的表示，是位形点在位形空间中遵循的动力学微分方程； 拉氏方程仅能确定体系的位形，不能确定系统的力学状态；拉格朗日方程就可看作是广义动量对时间的变化率等于广义力（包括拉格朗日力和广义力）。说明： 拉格朗日方程的应用条件为：惯性参考系下受理想约束的完整力学体系； 拉氏方程与动力学普遍方程是等价的，是普遍方程在广义坐标中的表示，是位形点在位形空间中遵循的动力学微分方程； 拉氏方程仅能确定体系的位形，不能确定系统的力学状态；拉格朗日方程就可看作是广义动量对时间的变化率等于广义力（包括拉格朗日力和广义力）。 kkkqL qT
