二阶线性常微分方程的幂级数解法

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1、二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道， 在满足某些条件下， 可以用幂级数来表示一个函数。 因此，自然想到， 能否用幂级数来表示微分方程的解呢？例 1、求方程0yxy的通解解：设2 012n nyaa xa xa x为方程的解，这里(0,1,2, ,)ia in是待定常系数，将它对x微分两次，有21 2312 13 2(1)(1)nn nnyaa xn na xnnax将y，y的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x22 10a，303 20,aa414 30,aa525 40,aa或一般的可推得0 32 3 5 6(31) 3kaakk，1 313 4 6 73(31)kaa

2、kk，320ka其中1a，2a是任意的，因而代入设的解中可得：363470112 32 3 5 62 3 5 6(31) 33 43 4 6 73(31)nxxxxxyaa xnnnn这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和 （其中包括两个任意常数0a及1a）便是所要求的通解。例6 求方程 240yxyy的满足初值条件(0)0y及(0)1y的解。解设级2 012n nyaa xa xa x为方程的解。 首先，利用初值条件，可以得到00a，11a，因而23 2321 232 231 2323 2(1)n nn nn nyxa xa xa xya xa xna xyaa xn na x将y，y

3、，y的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,1nnaaaaan因而567891111,0,0,2!63!4!aaaaa最后得21111(1)!kakkk, 20ka, 对一切正整数k成立。将ia(0,1,2,)i的值代回2 012n nyaa xa xa x就得到521 3 2!kxxyxxk242 2(1),2!k xxxxxxek这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答

4、，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程， 可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程22( )( )0d ydyp xq x ydxdx及初值条件00()y xy及 00()yxy的情况。不失一般性，可设00x，否则，我们引进新变量0txx，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0xx的就是00t了，因此，今后我们总认为00x。定理 10若方程22()()0dyd yp xq xyd xd x中系数( )p x和( )q x都能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR， 则方程22()()0dyd ypxqxyd xd x有形如0n n n

5、ya x的特解，也以|xR为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作是在全数轴上收敛的幂级数， 故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程2 222 2()0d ydyxxxny dxdx这里n为非负常数 ，不一定是正整数， （22( )( )0d ydyp xq x ydxdx）在此1( )p xx，22( )1nq xx，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如 0n n nya x的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。定理 11若方程22()()0dyd yp xqxy d xd x中系数( )p x，(

6、)q x具有这样的性质，即( )xp x和2( )x q x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR， 若00a， 则 方 程22()()0dyd yp xq xyd xd x有 形 如0n n nyxa x即0n n nya x的特解，是一个特定的常数， 级数 0n n nya x也以|xR为收敛区间。若00a， 或更一般的，0(0,1,2,1)iim， 但0ma，则引入记号m，km kba，则00nmkk nmkk n mkkyxa xxaxxb x，这里00mba，而仍为待定常数。例7 求解 n阶贝赛尔方程2 222 2()0d ydyxxxnydxdx。解将方程改写成2222210d y

7、dyxnydxx dxx，易见，它满足定理 11的条件（( )xp x和2( )x q x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR） ，且2221,xp xx q xxn，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理 11，方程有形如0ak k kya x的解，这里00a，而ka和是待定常数， 将 0a k k kya x代入：2 2222()0d ydyxxxnydxdx中，得221()(1)a k k kxakaka x11()a k k kxak a x220()0a k k kxna x，把x同幂次项归在一起，上式变为2200()(1)()0akak kk kkkkkna xa x令各项的系数等于

8、0，得一系列的代数方程22 022 122 20(1)0()02,3,kkananaknak因为00a，故从22 00an解得的两个值n和n先考虑n时方程2 2222()0d ydyxxxnydxdx的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数ka。把n代入以上方程组，得到10a2 (2)k kaaknk，2,3k或按下标为奇数或偶数，我们分别有21 2122 221221222k kk kaaknkaaknk1,2,k从而求得210ka1,2,k0 22211aan20 44122!12aann30 66123!123aannn一般地0 2212!12kkkaaknnnk1,

9、 2 ,k将ka各代入 0ak k kya x得到方程2 222 2()0d ydyxxxnydxdx的一个解02 102 112!12knkn k kaya xxknnnk既然是求2 2222()0d ydyxxxny dxdx的特解，我们不妨令0121nan其中函数s定义如下：当s0 时，10sxsxe dx；当s0 且非整数时， 由递推公式1( )1sss定义。s具有性质1sss; 1!nnn为正整数而02 102 112!12knknk kaya xxknnnk变为21 01!112kknkxyknknn注意到函数的性质，即有21 01!12kk nn kxyJxknknJx是由贝塞尔

10、方程2 2222()0d ydyxxxnydxdx定义的特殊函数，称为n阶贝赛尔函数 。因此，对于n阶贝塞尔方程，它总有一个特解nJx。为了求得另一个与nJx线性无关的特解， 我们自然想到，求an时方程2 2222()0d ydyxxxnydxdx的形如2 0nk k kya x的解，我们注意到只要n不为非负整数，像以上对于n时的求解过程一样，我们总可以求得210ka1,2,k20 21, 2!12kkkaa knnnk1,2,k使之满足22 022 122 20(1)0()02,3,kkananaknak中的一系列方程，因而02 202 112!12knkn k kaya xxknnnk是2

11、 222 2()0d ydyxxxnydxdx的一个特解。此时，若令0121nan则02 202 112!12knkn k kaya xxknnnk变为22 01!12knkn kxyJxknk称nJx为阶贝赛尔函数 。利用达朗贝尔判别法不难验证级数02 102 112!12knknk kaya xxknnnk和02 202 112!12knkn k kaya xxknnnk（ 在02 202 112!12knkn k kaya xxknnnk中0x）都是收敛的， 因此，当n不为非负整数时，nJx和nJx都是方程2 222 2()0dyd yxxxnyd xd x的解，而且是线性无关的，因为它

12、们可展为由x的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是 常 数 。 于 是 方 程2 222 2()0dyd yxxxnyd xd x的 通 解 可 写 为12nnyc Jxc Jx这里1c，2c是任意常数。此情形的nJx和nJx称为第一类贝塞尔函数。例 8 求方程2294025x yxyxy的通解。解引入新变量2tx，我们有2dydy dtdydxdt dxdt222224d yddydtd ydxdtdtdxdt，将上述关系代入院方程，得到2 22290 25d ydyttty dtdt，这 是 ，3 5n的 贝 塞 尔 方 程 ， 由 例7可 知 ， 方 程2 22 29025d ydy

13、tttydtdt的通解可表为132355yc Jtc Jt，代回原来变量，就得到原方程的通解1323 5522yc Jxc Jx其中12,c c是任意常数。第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下,物体将摆脱地球的引力,向地球一样绕着太阳运行 ,成为人造卫星 . 让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律,作用于物体的引力F(空气阻力忽略不计 )为2mMFkr这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程222d rmMmkdtr

14、或222d rMkdtr这里的负号表示物体的加速度是负的。设地球半径为5(63 10)R Rm，物理发射速度为0v，因此，当物体刚刚离开地球表面时，我们有0,drrRvdt，即应取初值条件为00,drtrRvdt当时，方程222d rMkdtr不显含自变量t,应用 4.3.1 （可降阶的一些方程类型）的方法，把方程降阶成为一阶方程2dvMvkdrr解得212vkMcr注意到这时初值条件为2 0 2vkMcR因而22 0()22vvkMkMrR因为物体运动速度必须始终保持是正的，即2 02v，而随着r的不断增大，量kMr变得任意小。因此，由22 0()22vvkMkMrR看到，条件2 02v要对所有的r都成立，只有不等式2 02vkMR，或02kMvR成立。因而最小的发射速度由下面式子决定: 02kMvR在地球的表面，即rR时，重力加速度为2(9.81 /)g gm s，由此根据2mMFkr，就有2MgkR，于是2kMgR。以此代入02kMvR得到53 022 9.81 63 1011.210vgRm s我们通常所说的第二宇宙速度指的就是011.2vkm s这个速度。