《巧裂项求数列的和妙放缩证明不等式——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《巧裂项求数列的和妙放缩证明不等式——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 2 中。 7 擞 7( 2 0 1 1 年 第1 0 期 高 中 版 ) 解题研究 巧裂项 求数列的和 砂 放缩证 等式 浅谈 一类高考数列不等式问题的求解策略 5 1 0 9 0 0 广东省广州市从化中学杨仁宽 1 缘 起 在新课程人教 A版数学选修 2 2中， 有这样的例题 与习题 ： 例 题若 数 列 i j 的 前 n 项 和 是 S n ， 计算 S 。 ， IS ， s ， ， 根据计算结果推测计算S 的表达式并给 出证明 习 题若 数 列 ) 的 前 n 项 和 是 s ，计 算 s t ， S ： ， S ， ， E h 此推测计算 s 的公式并给出证明 由此引发出这样的问
2、题： 若等差数列 a 的各项均 不 为 零 ，求 数 列 ) 的 前 n 项 和 这类问题的求解， 可以采用“ 裂项求和” 法， 由于裂 项 变形时能较好地考查数学技能技 巧， 而成 为高考命题 的重要切入点 尤其是与不等式相关联， 更是成为高考 命题的亮点!本文结合近年高考题或模拟题 ， 例析这类 问题求解的主要思路与策略 2求解 的主要思路与策略 2 1 借分式性质裂项 。 适 当放缩证 明不等式 例 1 ( 2 0 1 1 年 全 国卷理科 必修+ 选修 第 2 0题 ) 若数列 a n 满足 口 t = o ， 1 一 ( 1 ) 求 a 的通项公式； ( 2 ) 设6 ： ， S ：
3、 熹 6 ， 证 明 s 0，由分子为正 ， 解 得 1 一 1 ， 得 m= 2 ， 此时 n =1 2 当且 仅当 m= 2 ， =1 2时 ， 数列 中的 ， ， 成等 比数列 点评本题考查 了等差 、 等 比数 列 的概 念及性 质 ， 求解的关键， 是借助于分数的性质对 b 作恒等变形而裂 项 ， 进而求得 的表达式 类似地 ， 有 2 0 1 1 年天津文科 和理科压轴题 、 2 0 0 8年 江西理科第 l 8题 ， 以及 下例 解题研究 中 7 擞 7 ( 2 0 1 1 年 第1 o 期 高 中 版 ) 4 3 例 3 ( 2 0 1 0年湖 南文科 压 轴题 ) 给 出下面
4、 的数 表 序列 ： 表 1 表 2 表 3 1 1 3 l 3 5 4 4 8 、 1 2 其中表 n ( ， z =1 ， 2 ， 3 ， ) 有 7 , 行， 第 1 行的 n 个数是 1 ， 3 ， 5 ， ， 2 n 一 1 ， 从第 2行起 ， 每行 中的每个数都等于它 肩上的两数之和 ( 1 ) 写 出表 4 ， 验证 表 4各行 中数 的平均数按从上到 下的顺序 构成 等 比数 列 ， 并 将 结 论 推广 到表 n ( n 3 ) ( 不要求证 明) ； ( 2 ) 每个数表中最后一行都只有一个数 ， 它们构成 数 列 1 ,4 ， 1 2 ， ， 记 为 6 ， 求T n
5、= 砉 解( 1 ) 表 4为 ： 1 3 5 7 4 8 l 2 1 2 2 0 3 2 它的第 1 ， 2 ， 3 ， 4行中各数的平均数分别为4 ， 8 ， 1 6 ， 3 2 ， 它们组成首项为4 、 公比为 2的等比数列 将此结论推广到表 n ( 尼 3 ) ， 有下列结论： 表 n ( 3 ) 各行 中的数的平均数按从上到下的顺 序构成以 n为首项、 2为公比的等比数列 ( 2 ) 因为表 n ( n 3 ) 各行中的数的平均数按从上 到下的顺序构成以n为首项、 2为公比的等比数列 ， 所以 第 k 行中各数的平均数为 n x 2 ， 于是表 n中最后一行 的一个数为 b = n
6、x 2 于是 V N+ = = = = 一 ( 2 ) ， 一 儿 ( 去 一 ) + ( 击 ) + + (4 ( rt+ 1 ) x 2 点评此题的求解 ， 对利用分式的性质恒等变形而 裂项 ， 提出了更高 的要 求 !由以上可知 ， 本例 第 ( 2 ) 题 ， 可 改 编 为 “ 证 明 ： 0 ) 的 图 象 在 点 ( 1 ， ( 1 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y=x+1 ( 1 ) 用 a 表示出6 ， c ( 2 ) 若， ( ) l 在 1 ， + ) 上恒成立， 求 a的取值 范 围； ( 3 ) 证 明 耋 ln ( ) + ( n E N + ) 解( 1 )
7、 b = a - 1 ， C - 1 - 2 a ( 过程略) ； ( 2 ) 口 的 取 值 范 围 是 ， + ) ( 过 程 略 ) ( 3 ) 由 ( 2 ) 知 ： 当 a 时 ， Tif f ( ) l ( 1 ) ， 令 口 = 1，有 ) = 1( 一 ) l 似 ( 1 ) ， 当 l 时 ， 1( ) l n x， = Tk + l 有 n ln ( n + 1 ) + 赤 仿此 ， 可证例 4中t l n ( n + 1 ) F ( O ) =0 ， 从而， v E( 0 ， 1 ) ， 1 n ( + 1 ) 取 = i 1 ，得 ln ( 14 - ) = In (
8、Ii+ 1 ) 一 ln ，将 当 J l =1 ， 2 。 ， n时的 7, 个不等式相加， 得 砉 = 砉 lrd + ( 1ll3 - ln 2 ) + ( 1n 4 - ln 3 ) + I n ( n + 1 ) 一 I n n = I n ( n + 1 ) ， 即 I n ( n + 1 ) ， 原不等式成立 点评上述证明的关键， 是仔细观察结构特点， 适 当构 造对数 函数 ， 巧 妙赋 以变 量之值 ， 借助对 数运算性 质而裂项 !求和之后 的适度放缩 ， 已是水到渠成了 ! 参考文献 1 杨仁宽 创设新颖情境， 体现课标理念， 考查探究能力 J 中学数学， 2 0 1 0 ， 8 2 杨仁宽 继承优良传统， 探索命题创新 0 1 1年广东高 考数学试卷评析 J 高中数理化， 2 0 1 1 ， 7 ( 下) 3 周伟忠 数列不等式证明方法比较 J 中学数学， 2 0 0 8 ， 4 ( 收 稿 E l 期 ： 2 01 1 0 7 2 6 )
