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1、例说空间轨迹问题的解题策略蔡勇全(四川省资阳市雁江区中和中学, 641321)空间轨迹问题是近几年来高考中涌现出的一个新亮点,而且命题大多呈现在知识点的交汇处.本文将就其常用的解题策略举例说明,以飨读者.策略1 巧用定义法例1 在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,点P在 面BCC1B1及其边界 上 运 动,若P到直线BC与直线C1D1的距离之比为21,则动点P的轨迹为( )(A)直线 (B)圆(C)双曲线 (D)椭圆解 因为D1C1平面BB1C1C,所以D1C1PC1,点P到直线C1D1的距离为PC1、于是问题的条件转化为在平面BB1C1C内,点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比为
2、1 2,由椭圆第二定义可知,动点P的轨迹为椭圆,故应选D.例2 正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM =1 3,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离1-1 3+1 2-1 4+1 3-1 5+1 4-1 6+1 5-1 7这一段得相消规律是“ 余下的是最前两个括号中的正项和最后两个括号中的负项 ”,由此类推得S =1 21+2-1 n-1 n +2.3.关注变化中的不变关系例8 已知圆M: x2+ (y -2)2=1的弦AB所在直线的方程ax -2y +3=0,当a变化时,动弦AB的中点轨迹为( )分析 弦AB虽 在 动,但 总 过 定 点
3、N0,3 2,且圆心M为(0,2) , AB的中点与圆心M的连线与弦AB始终垂直,故动弦AB的中点轨迹是以MN为直径的圆.例9 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60.分析 如图6建立坐标系,则C (0,0,0) ,D (2,0,0) , F (2,2,1) ,设P ( t, t,0) (0t2) ,则PF = (2- t,2- t,1) , CD = (2,0,0) ,因为PF与CD所成的角为60,所以有| (2- t)2|(2- t)2+ (2- t)2+12=1 2.解之得t =2 2, t =3
4、 2 2(舍去) ,即点P为AC的中点. 02高中数学教与学 2007年与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是( )(A)圆 (B)抛物线(C)双曲线 (D)直线解 设PFA1D1,垂足为F,过点P作PEAD,垂足为E,连接EF,则AD平面PEF,ADEF,即EFAA1.| PF |2-| PM |2=1,且| PF |2- | PE |2=| EF |2=1,| PE | =| PM | ,由抛物线定义知点P的轨迹是以点M为焦点, AD为准线的抛物线,故应选B.策略2 动中取静法例3 已 知 直 平 行 六 面 体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD =60,长为2
5、的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为( )(A)2 9 (B)4 9(C)2 3 (D)4 3分析 由于N是运动的,故动点P的轨迹的解决必须在“ 动 ” 中求“ 静 ”.在Rt设P在 平面ABC内射影为H,连HG,则HGBC, PGH为二面角S - BC - A的平面角.设12第11期 高中数学教与学PGH =(定值) ,则SP = PH, PG =PH sin,SP PG=sin(定值) ,且0sin1,即动点P到定点S与到定直线BC的距离为常数sin(0,1) ,所以动点P的轨迹所在曲线
6、是椭圆,应选C.例7 正三棱锥P - ABC的底面边长为a,侧棱长为2a,过A作截面AEF,分别交PB、PC于E、F,问 &AEF周长的最小值是否存在?若存在请求出,若不存在,请说明理由.解 将棱锥P - ABC的侧面沿PA剪开展平得五边形ABCAP,连AA(如图3) ,则线段AA 是连结A、A 间所有线段中最短的, AA 的长就是 &AEF周长的最小值(最小值存在) ,设 B PC =,则 APA=3.PB = PC =2a, BC = a,cos=PB2+ PC2- BC22PBPC=4a2+4a2- a222a2a=7 8,cosAPA=cos 3=4cos3-3cos=7 128,AA
7、2= PA2+ PA2-2PAPA cos 3=4a2+4a2-22a2a7 128=121 16a2.AA=11 4a,&AEF周长的最小值为11 4a.评注 空间问题向平面问题的转化是一种常见的解题策略,这种转化把三维问题转化为二维问题,大大降低了难度.策略5 经验判断法例8 日常生活中,许多饮料是用易拉罐盛装的,易拉罐是近似的圆柱体.现有一个高为12 cm,底面半径为4cm的空易拉罐,被切割成如图4所示的形状相同的两个几何体,如果将其中一个几何体的侧面展开,那么展平后的开状是( ).分析 此类试题要求学生通过观察、 分析,抓住问题实质,找出事物变化的规律,而且必须具备一定的生活常识及较强
8、的空间想象能力,不难判断,答案为B.策略6 向量(坐标)法例9 平面的斜线AB交 于点B,过定点A的动直线l与AB垂直且交于点C,则动点C的轨迹是( ).(A)一条直线 (B)一个圆(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支分析 设直线AB上的点A在 内的射影为点O,过O点建立空间坐标系(如图5) ,并记 ABO =, AB=1,则有A (0,0,sin) ,B (cos,0,0).再设C ( x, y,0) ,则有AC = (x,y, -sin) , AB = (cos,0, -sin) ,由ABAC得ABAC =0,即xcos+sin2=0,表示平面内的一条直线.评注 用向量方法解决空间轨迹问题,实质是用代数方法研究几何问题,它有效地沟通了“ 数 ” 与“ 形 ” 的关系,增加了一条解决立体几何问题的途径,成为解决问题的一个有效手段.22高中数学教与学 2007年
