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1、1.理解函数的概念，特别是定义域、值域、对应法则. 2.准确理解函数的性质,奇偶性、单调性、周期性. 3.灵活掌握函数图象的变换，平移、对称、翻折、旋转等. 4.理解二次函数、并能熟练解决二次函数的有关问题. 5.理解指数函数、对数函数、幂函数的概念及性质,并能利用性质解决数学问题. 6.了解分段函数，并能简单应用. 学案6 函数、基本初等函数的图象与性质1.(2009全国)设函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 （ ）A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数解析 由函数y=f(x+1)是奇函数知，f(x+1
2、)=-f(-x+1),由函数y=f(x-1)是奇函数知，f(x-1)=-f(-x-1).由知，f(-x)=-f(2+x),由知，f(-x)=-f(x-2),f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x).函数y=f(x)是以4为周期的函数，由知，f(x-1+4)=-f(-x-1+4).f(x+3)=-f(-x+3),函数f(x+3)是奇函数.答案 D2.(2009全国)函数 的图象（ ）A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称解析 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. A3.（2009
3、天津）设函数 则不等式f(x)f(1)的解集是 （ ）A.(-3,1)(3,+) B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+) D.(-,-3)(1,3)解析 由已知，函数先增后减再增当x0，f（x）2，f（1）=3，令f(x)=3,解得x=1,x=3.当xf(1)=3,解得-33. A4.(2009广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是 （ ）A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙
4、车在甲车前面解析 由图象可知，曲线v甲比v乙在0t0、0 t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面. A题型一 求函数的定义域和值域【例1】(1)(2009江西)函数 的定义域为 ( )A.-4,1 B.-4,0)C.(0,1 D.-4,0)(0,1(2)若函数y=f(x)的值域是 则函数F(x)=f(x)+的值域是 （ ）A. B. C. D.解析 (1)由题意知解得-4x0,得10,都有f(x)0,f(3)=-6.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)证明函数y=f(x)在R上为单调减函数；(3)试求函数y=f(x)在a,b(a,bZ,且ab0)上的值域.(1
5、)解 令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.再令y=-x,得：f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),f(x)+f(-x)=0,于是函数y=f(x)为奇函数.(2)证明 对任意x,yR，f(y)+f(x-y)=fy+(x-y)=f(x)，f(x)-f(y)=f(x-y）.设x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),显然x1-x20.而由题意可知，对任意的x0,都有f(x)0,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2),函数y=f(x)在R上为单调减函数.(3)解 由于函数y=f(x)在R上为减函数，故y=f(x)
6、在a,b上为减函数，y=f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b).又由于f(b)=f1+(b-1)=f(1)+f(b-1)=2f(1)+f(b-2)=bf(1),同理:f(a)=af(1).又f(3)=-6=3f(1)，f(1)=-2，f(b)=-2b,f(a)=-2a，因此函数y=f(x)在a,b上的值域为-2b,-2a.【探究拓展】抽象函数的综合题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思维程度较高,解题时需要把握好如下三点:一是注意定义域的应用;二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“符号”;三是利用函数的单调性去掉函数符号“f”,然后再求解.变式训练4 定义在(-1,1
7、)上的函数f(x)满足:对任意x,y(-1,1)都有f(x)+f(y)= f(x)0，当x(-1,0)时，有f(x)0.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)求证：(1)解 令x=y=0，得f(0)=0,再令y=-x,得f(x)+f(-x)=0，所以函数f(x)是奇函数.(2)解 设-1f(x2),所以f(x)在区间(-1,0)上单调递减,由奇函数的性质可知,f(x)在区间(0,1)上也是单调递减的函数.所以函数f(x)是定义域上的减函数.(3)证明【考题再现】 (2009北京)设函数f(x)=x3-3ax+b (a0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(
8、2)处与直线y=8相切,求a,b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.【解题示范】解 (1)f(x)=3x2-3a, 2分曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，6分(2)f(x)=3(x2-a) (a0), 当a0时，f(x)0，函数f(x)在(-，+)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点. 8分当a0时，由f(x)=0,得x= 9分当x(-, )时,f(x)0，函数f(x)单调递增， 10分当x 时，f(x)0，函数f(x)单调递减， 11分当x( ,+)时，f(x)0，函数f(x)单调递增， 12分此时 是f(x)的极大值点,是f(x)的极小值点. 14分1.定义
9、法是论证函数单调性的基本方法,而用导数法论证则更快捷、省力、省时.2.要正确理解奇函数和偶函数的定义,首先定义域要关于原点对称,其次在定义域内应满足:f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x).3.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称,反之亦然.因此也可以根据函数图象的对称性,判断函数的奇偶性.4.函数最值(极值)的求解类比于函数值域问题的求解,方法颇多,导数法尤为重要.一、选择题1.(2009天津)设 则( )A.abc B.acbC.bca D.bac解析 acb.B2.(2008山东)函数y=ln cos x 的图象是（ ）解析 y=ln cos x为偶函数,且函数图象在
10、 上单调递减.A3.(2008安徽)在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)=-1,则m的值为 （ ）A.-e B. C.e D.解析 由题意知y=g(x)应为y=ex的反函数,即y=g(x)=ln x,而y=f(x)与y=g(x)=ln x图象之间关于y轴对称,故可得y=f(x)=ln(-x),又f(m)=-1,所以ln(-m)=-1,得-m=e-1,即m= . B4.(2009山东)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=则f(3)的值为 （ ）A.-1 B.-2 C.1 D.2解
11、析 由已知得f(-1)=log25,f(0)=log24=2,f(1)=f(0)-f(-1)=2-log25,f(2)=f(1)-f(0)=-log25,f(3)=f(2)-f(1)=-log25-(2-log25)=-2. B5.已知函数f(x)=logsin 1(x2+ax+3)在区间(-,1)上递增，则实数a的取值范围是 ( )A.(-4,-2 B.-4,-2C.(-4,+) D.(-,-2解析 0sin 11, 1,即a-2,又12+a1+30,a-4,a-4，-2. B6.设a1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logax+logay=3,这时a的取值集合为 （ ）A.
12、a|1a2 B.a|a2C.a|2a3 D.2,3解析 因为logax+logay=3，所以xy=a3,即 又当xa,2a时,ya，a2,B二、填空题7.设a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 则a=_.解析 因为a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值分别为loga2a,logaa=1,它们的差为则loga2= a=4.48.设函数 的值为_.解析 因为 所以f(2)=22+2-2=4,则9.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0,a1)在区间0,+)上是增函数,那么实数a的取值范围是_.解析 f(x)=ax(2ax-3a2-1
13、)ln a,由题意知f(x)0对x0,+)恒成立.当a1时，ln a0，所以2ax-3a2-10对x0,+)恒成立，则3a22ax-1,在0,+)上恒成立.a2 与a1矛盾.无解.当0a1时，ln a0，所以2ax-3a2-10对x0,+)恒成立，则3a22ax-1在x0,+)上恒成立.10.已知函数f(x)(xR)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且f(1)=1,f(2)=2 010.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009)=_.解析 f(x+1)=f(x)+f(x+2), f(x+2)=f(x+1)+f(x+3), 由得，f(x)=-f(x+3),则f(x+3)=-f(x+6)，所以f(x+6)=f(x),即f(x)是以6为周期的函数，由f(x)=-f(x+3)可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,又2 009=6334+5,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009)=f(1)
