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1、 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式是二阶常系数线性非齐次微分方程其中p,q为常数而求二阶常系数线性非齐次方的通解,归结为它所对应的线性齐次方程高等数学电子教案 武汉科技学院数理系通解和非齐次方程(1)的特解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解,我们在第八节中得到解决.所以这里只需要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*的方法本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见形式时求特解y*的方法.这方法的特点是不用积分就可以求出y* 来,它叫做待定系数法.f(x)的两种形式是高等数学电子教案 武汉科技学院数理系下面,我们开始讨论上述两种形式时
2、特解y* 的求法.一、型我们来考虑怎样的函数可满足方程(1) y”+py+qy=f(x),因为f(x)是多项式pm(x)与指数函数eax的乘积,而多项式和指数函数的导数仍然是同一类型,因此我们推测可能是方程的特解高等数学电子教案 武汉科技学院数理系高等数学电子教案 武汉科技学院数理系(1) 如果不是y”+py+qy=0方程(2)的特征方程(2) r2+p r+q=0的根,则2+p+q0, 所以Q(x)(3) 和pm(x)的次数相同.可设把(4)代入(3)式,利用待定系数法,比较等式两端的同次幂,得到m+1个方程将m+1个未知数b求出.这就是一个特解.(2) 如果特征方程只有单根,即那么方程(3
3、)左端的次数与Q(x)的次数相同,于是可设Q(x)=xQm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的m个系数.高等数学电子教案 武汉科技学院数理系那么方程(3)左端的次数与Q(x)的次数相同,于是可设Q(x)=x2 Qm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的m+1个系数综上所述,我们有如下的结论:那么二阶常系数非齐次线性方程(1)具有形如式,k是按不是特征方程的根,是特征方程的单根,重根分别取0,1,2。如果(3) 如果特征方程有重根,即的特解,其中Qm(x)是与pm(x)同次的多项高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例1 求微分方程的一个特解分析:非齐次方程的自由项3x+1=(3x+1)
4、e0x,特征方程为r2-2r-3=0,=0不是方程的根.所以设高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例2 求微分方程的通解分析:特征方程为高等数学电子教案 武汉科技学院数理系高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例3 求微分方程的通解特征方程为r2-4r+4=(r-2)2=0,所以它具有重根r=2,它对应的齐次方程的通解为y(x)=(C1 +C2 x)e2x又f(x)=2e2x ，设y*=b0x2e2x代入原方程分析:高等数学电子教案 武汉科技学院数理系二 型应用欧拉公式,把三角函数变为复变指数函数形式,有高等数学电子教案 武汉科技学院数理系是互成共轭的m次多项式,而m=maxl,n应用上面的结果
5、,对于f(x)中的第一项P(x)e(+i)x,可求出一个m次多项式Qm(x)使得为方程的特解其中k按+i不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 由于f(x)的第二项与第一项共轭,所以与y1成共轭的函数必然是方程高等数学电子教案 武汉科技学院数理系的特解,于是方程(1)有形如的特解,上式可写成的特解,其中Qm(x),Rm(x)是m次多项式,m=maxl,p,k按不是特征根特征单根分别取0,1高等数学电子教案 武汉科技学院数理系例4 求方程的一个特解分析；方程的特征方程是r2+1=0,2i不是特征根.k=0代入原方程,得到高等数学电子教案 武汉科技学院数理系高等数学电子教案 武汉科技学院
6、数理系例5 求方程的通解高等数学电子教案 武汉科技学院数理系三. f(x)= f1(x)+f2(x) 其中f1(x),f2(x)为上述 一,二中形式的f(x)方程 y”+py+qy=f(x)中的自由项f(x)=f1(x)+f2(x)可根据叠加原理求出.该方程的自由项 f(x)=x2+xe-x 不是属于情形一,但如果看成f1(x)+f2(x)这 两函数的情形属于情形一.例6 求微分方程 y”-y-2y=x(x+e-x)的通解.分析:高等数学电子教案 武汉科技学院数理系它的一阶导数为它的二阶导数为代入原方程,得到写出微分方程对应的齐次方程的特征方程 r2-r-2=(r-2)(r+1)=0的根为 r
7、1= -1 , r2=2, 故对应齐次方程的通解为 它的一个特解具有形式高等数学电子教案 武汉科技学院数理系比较上式两端同类项的系数,得到 a=-1/2, b=1/2, c=-3/4, A=-1/6, B=0, 于是故原方程的通解为高等数学电子教案 武汉科技学院数理系四. 可化为上述(一),(二),(三)的二阶常系数非齐次线性方程分析: 这里的自由项 f(x)= e2xcosex 作变量代换 ex=t x=lnt 则有些二阶常系数非齐次线性微分方程的自由项f(x)并不属于(一),(二),(三)的情况,但通过变量代换或利用三角公式化为(一),(二),(三)的情形例7 求微分方程 y”-y=e2xcosex 的通解高等数学电子教案 武汉科技学院数理系
