《实数的连续性解题指导-数学分析-北京工业大学-03》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实数的连续性解题指导-数学分析-北京工业大学-03（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、17 第四章实数的连续性前面内容已经承认了数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则，但并没有给出证明。单调有界定理的几何意义是容易理解的。事实上，这两个定理是等价的，它们是公理， 是整个数学分析建立的基础。 本章介绍了与它们等价的闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、确界定理，这些定理与单调有界定理、柯西收敛准则统称为实数的完备性（或连续性）定理；还介绍了一致连续概念，并证明了闭区间连续函数的有界性、最值性、零点定理和一致连续性。其中确界概念和一致连续的概念值得注意。上（下）确界是最大（小）值概念的推广。最值要求属于集合本身， 最值必为确界， 反之不然； 函数在一集合上一致连续必连续，
2、反之不然。典型例题例 1 设( )f x，( )g x在集合上有界，证明inf( )( )inf( )sup( ) xxxfxg xf xg x。证inf( )( )( )( ) xf xg xf xg x( )sup ( )() xf xg xx由( )g x在上有界知：sup( ) xg x，从而inf( )( )sup( )( )() xxf xg xg xfxx由此得：inf( )( )sup( )inf( ) xxxf xg xg xf x命题得证。例 2 设( )f x在(,)连续，且存在,R，使lim( ),lim( )xxf xf x，证明：( )f x在(,)一致连续。证0
3、， 由l i m(), l i m( xxf xf x知 ： 存 在120,0xx使18 12( )( )(,)ffxx或， 由121,1fC xx知： 存在10，使12( )( )(,1,1:)ffxx，对,(,) :， 当12,xx或 ，时( )( )ff 当或12,x x时，有12,1,1xx， 从而( )( )ff。 综上，( )f x在(,)一致连续。例 3 设( )f x定义在 , a b上，0 , ,xa b极限0lim( ) xxf x都存在，证明( )f x在 , a b有界。证由 函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 ，, ,xa b(,)xU x与0xM， 使 对(,)
4、,xtUxa b，有( )xf tM。定义( ,)| , xHU xxa b，则H是 , a b的一个开覆盖，于是存在 , a b的有限覆盖(,)|1iixHU xinH。取1maxixinMM，则( )( , )fxMxa b。例 4 用确界定理证明单调有界定理。证不妨设数列nx单调递增有上界， 由确界定理知：nx存在上确界 x。因此，对0,N使Nxx， 从 而 对n， 有Nnxxxx， 即l i mnxxx。例 5 用柯西收敛准则证明确界定理。证 设E，E有上界（下界），由确界定义，容易知道其唯一性。下面仅证上确界的存在性，下确界的存在性类似可证。0，存在整数K，满足K是 E 的上界，但(
5、1)K不是 E 的上界，记K。设n是一列收敛于 0 的正数列，则n，对应一个n，使n19 是 E 的上界，但 nn不是 E 的上界。0，存在,Nm nN，有,nm。 由 确 界 定 理 知 ： 存 在,a aE， 使nmma，mnna。 于 是m a x (,)nmnm， 从 而n收 敛 ， 记limnn，下面证明是 E 的上界。E ，有 n，令 n，则有。由nnnn知：0,n，使,nn。但对n，存在aE，使nna，从而2nna。于是是E的上确界。注：由例 4，例 5 结合教材上的内容知：实数连续性定理是相互等价的。例 6 设( )f x在 , a b连续，分别用确界定理、闭区间套定理、柯西收
6、敛准则、致密性定理、聚点定理证明f在 , a b有界。证 （一） 用确界定理令| , , Sxfa xa b在有界， x，则由f在 a 点左连续知S非空，由确界定理知， S有上确界，记作。现用反证法证明=b 。不然b，由连续函数的局部有界定理知：存在0，使f在0( ,)U内有界，从而存在0x，使0xS，与是上确界矛盾。 下证f在 , a b有界。由f在 b点右连续，存在0，使f在, bb上有界，再由supbS知f在 , 2a b上有界。于是f在 , a b上有界。（二） 用闭区间套定理用反证法， 设f在 , a b上无界，二等分区间 , a b，则存在一子区间11,a b，使f在11,a b无
7、界。再二等分11,a b， 则同样可得一子区间22,a b， 使f在22,ab无界，如此无限下去得一闭区间套,nnab， f 在,nna b无界。注意到0 ()2nnnbaban，存在,nna b（n） 。由f在连续知：存在0，使f在( ,)U内有界，而当 n充分大时，,( ,)nnabU，这与f在20 ,nna b无界矛盾。（三） 用柯西收敛准则用反证法。设( )f x在 , a b上无界，则存在一 数列 , nxa b， 满足li m()nnf x。二等分区间 , a b，则存在一子区间11,a b，使 f 在11,a b无界，取111,xa b满足1()1f x；再等分区间11,a b，
8、 则存在一子区间22,ab， 使 f 在22,a b无界， 取222,xa b满足2()2f x； 如此下去得到一子区间列,nna b和一数列nx满足,nnnxab，()nfxn。显然对,nmmmnm xxab，再注意到 2mmmbaba，我们有2nmmbaxx。由此得nx是 , a b上的柯西列，故存在 , xa b，使limnnxx。由f的连续性知：lim()( )nnf xf x，与()nf xn（n）矛盾。（四） 用致密性定理用反证法。设( )f x在 , a b无界，则存在一数列 , nxa b，使()nf xn。应用致密性定理知：nx存在子列knx收敛于 , a b中的一点x。再由
9、f在x的连续性得：lim()( )knkf xf x，与()nf xn（n）矛盾。（五） 用聚点定理用反证法。设( )f x在 , a b无界，则存在1 , xa b，使1()1fx。由f的无界性可知：存在2 , xa b，使21()max() ,2f xf x， 如此无限下去得到一数 列nx， 满 足1()m a x(),nnf xfxn。 由此 知()nfxn，(,)nmxxnmn m。于是nx是一无限集， 应用聚点定理知：nx至少有一聚点0 , xa b。由f的连续性知：存在0，使( )f x在0(,) , U xa b中有界。再由0x是聚点知：0(, ) , U xa b 中有无限多个
10、nx的项，注意到()nf xn（n） ，知f在0(, ) , U xa b 上无界，产生矛盾。注：应用有限覆盖定理给出的证明见教材4.2 。21 练习题1 设( ),( )f xg x在集合上有界，证明sup( )inf( )sup( )( )sup( )sup( ) xxxxxf xg xf xg xf xg x。2 设( )f x在( , )a b内一致连续， 值域含于区间( , )c d，又( )g x在( ,)c d内一致连续。证明( )gfx在( , )a b内一致连续。3 用有限覆盖定理证明区间套定理。4 用聚点定理证明柯西收敛准则。5 设 E 是上一非空有下界的集合，用柯西收敛准则证明E 存在唯一的下确界。6 用确界定理证明区间套定理。7 用区间套定理证明单调有界定理。
