2016年考研数学一真题及答案解析

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题一、选择题:1～～8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.指定位置上.1、若反常积分 01 (1)abdxxx收敛，则（A）1a 且1b .（B）1a 且1b . （C）1a 且1ab.（D）1a 且1ab.2、已知函数2(1),1,( )ln ,1,xxf xxx则( )f x的一个原函数是（A）2(1) ,1.( )(ln1),1.xxF xxxx（B）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（C）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（D）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx3、若222(1)1yxx，222(1)1yxx是微分方程'( )( )yp x yq x的两个解，则( )q x （A）23 (1)xx.（B）23 (1)xx.（C）21x x.（D）21x x.4、已知函数,0, ( )111,,1,2,,1xx f xxnnnn则（A）0x 是( )f x的第一类间断点.（B）0x 是( )f x的第二类间断点.（C）( )f x在0x 处连续但不可导.（D）( )f x在0x 处可导.5、设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似.（B）1A与1B相似.（C）TAA与TBB相似.（D）1AA与1BB相似.6、设二次型222 123123121323(,,)444f x xxxxxx xx xx x，则123( ,,)2f x xx在空间直角坐标下表示的二次曲面为 （A）单叶双曲面（B）双叶双曲面 （C）椭球面（D）柱面7、设随机变量2~( ,)(0)XN ，记2{}pP X，则（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少8、随机试验E有三种两两不相容的结果1A，2A，3A，且三种结果发生的概率均为1 3，将试验E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（A）1 2（B）1 3（C）1 3（D）1 2二、填空题：二、填空题：9～～14 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分.请将答案写在答题纸分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.指定位置上.9、0 20ln(1sin ) lim_______.1 cosxxttt dtx 10、向量场( , , )()A x y zxyz ixyjzk的旋度_______.rotA 11、设函数( , )f u v可微，( , )zz x y由方程22(1)(, )xzyx f xz y确定，则(0,1)|______.dz12、设函数2( )arctan1xf xxax，且(0)1f ，则a ______.13、行列式1000100014321______.14、设12,,,nx xx为来自总体2( ,)N 的简单随机样本，样本均值9.5x ，参数的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为______.三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 （本题满分 10 分）已知平面区域= ( , )|22(1cos ),22Drr，计算二重积分Dxdxdy.16、 （本题满分 10 分）设函数( )y x满足方程20yyky，其中01k.（1）证明：反常积分 0( )y x dx收敛；（2）若(0)1y，(0)1y，求 0( )y x dx的值.17、 （本题满分 10 分）设函数( , )f x y满足2( , )(21)x yf x yxex，且(0, )1fyy，tL是从点(0,0)到点(1, ) t的光滑曲线。

计算曲线积分( , )( , )( )ddtLf x yf x yI txyxy，并求( )I t的最小值.18、 （本题满分 10 分）设有界区域由平面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分2(1)d d2 d d3 d dIxy zy z xz x y.19、 （本题满分 10 分）已知函数( )f x可导， 且(0)1f，10( )2fx.设数列 nx满足1()(1,2)nnxf xn.证明： （1） 级数1 1()nn nxx 绝对收敛；（2）limnnx 存在，且0lim2.nnx 20、 （本题满分 11 分）设矩形1112111Aaa ，22112Baa  .当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程.21、 （本题满分 11 分）已知矩阵011 230 000A （1）求99A（2）设 3 阶矩阵123(,,)B  满足2BBA记100 123(,,)B ，将123,, 分别表示为123,,  的线性组合。

22、 （本题满分 11 分）设二维随机变量(, )X Y在区域2( , )|01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令1,. 0,.XYUXY（1） 写出(, )X Y的概率密度；（2） 问U与X是否相互独立？并说明理由；（3）求ZUX的分布函数( )F z.23、 （本题满分 11 分）设总体的概率密度为233 ( , ),0, 0,x f xx 其他，其中+（0， ）为未知参数，123,,XXX为来自总体X的简单随机样本，令123max(X ,X ,X )T ，（Ⅰ）求T的概率密度；（Ⅱ）确定a，使得aT为的无偏估计.一、选择 （1）考察反常积分的定义（即反常积分的简单计算）选 C只有当, a b均已知时，才有计算的可能，直接计算行不通因此应先赋值，再计算综上本题采用“特例排除法” ：取0a ，须1b ，此时反常积分存在，即收敛，排除,B D；取3a  ，原式变成301bxdx x，易知，2b 时，分子幂次高于分母，321xx可分解出一个x，则积分结果为，反常积分不存在，排除A相比往年类似考点，较难。

2）考察原函数的定义直接计算即可2 11, 211xxdxxC；21, lnlnxxdxxxxC；观察选项，排除,B C一元函数可导必连续，排除A3）考察非齐次方程解的性质选A 非齐次方程的两个解作减法是对应齐次方程的解， 即22 1x是齐次解， 去系数2依旧是齐次解，代入齐次方程，记作方程①；非齐次方程的两个解取平均值，仍是非齐次方程的解，即221x是非齐次解，代入非齐次方程，记作方程②；方程①②联立可得 q x4））考察极限的定义，函数的连续与间断（和网上答案不一样，网上答案选（和网上答案不一样，网上答案选 D））选B考察一个函数在某点的极限或连续性或可导性，首先至少须保证函数在该点的去心领域有定义观察题干条件，0x 的“右领域”有“问题” ，函数在10,1n上无定义，右极限不存在，因此可直接排除,,A C D5）考察相似的充要条件：11,ABP APB P选C可先将题目等效为：已知1P APB，记作式①式①，验证选项“ABCD”的正确性基本思路：由已知通向未知是联系过去与未来的重要途径考察A：式①两边同时转置得11111TTTTTTTTTTP APP APPAPB，符合；同理，式①两边同时取逆得111P A PB，记作式②式②，符合；式①+②，即得111PAAPBB，D亦符合。

难度持平6）考察二次型之惯性定理与二次曲面的方程选B思路：根据二次曲面的方程可知：单页双曲面：2,1pq；双页双曲面：1,2pq；椭球面：3,0pq；柱面：3pq，, p q视具体情况而定采用配方法或特征值法均可很快确定本题二次型1,2pq，所以选B7）考察一般正态分布的概率计算选B XpP ，其中 x是标准正态分布的分布函数，分布函数单调不减较易 （8）考察相关系数的计算选A )XYCOV X YEXYEXEY DXDYDXDY易知11(2, ),(2, )33XBYB，所以24,39EXEYDXDY；求XY的分布列：0 1 242009XYP，2 9EXY；代入得1 2XY 二、填空（9）考察0 0型未定式极限23300ln 1sinsin1limlim222原式 xxxxxxx xx较易（10）考察旋度公式 1jyk 较易（11）考察多元函数之隐函数求导2dxdy0,1代入原方程，得1z 方程两边同时对x或y求导，可得(1,0)(1,0),zz xy 。

12）考察泰勒公式与幂级数展开 1 231arctan3xxx，2 2111axax ，所以32 231arctan113 1()3xxxxxaxaxa x ， 011()332faa 持平（13）考察行列式的计算4322341114321，只需要从第四列开始，后一列的倍加到前一列，最后得01 01 0143211   ，沿第一列展开即得较难（14）考察一个正态总体的置信区间（8.2,10.8） 代入公式22,XuXunn即可，其中2210.81.3Xuunn三、计算题 （15）考察极坐标系下的二重积分计算2 1 cos2 22cos3253Dxdxdydd  较易 （16）考察反常积分的计算以及二阶常系数线性齐次微分方程的求解 （Ｉ）证明： （依据反常积分定义）12 12122011,11其中xxyykyyC eC ekk    ，代入反常积分得 12122101212CCCCy x dx   反常积分存在，所以反常积分收敛。

II）解： （常微分方程中的初值问题，两个初值条件求两个任意常数12,C C）2 1 122111221 2 211 1(0)1(0)111CCCyyCCC  ，又12122k  ，代入得 03y x dxk。