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1、卡尔曼滤波简介及其算法实现代码（C+/C/MATLAB ）卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家 讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允 许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波， 神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这 方面的专家，欢迎讨论更正。卡尔曼滤波器 Kalman Filter 1什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论 （例
2、如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他 们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名 Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家， 1930 年出生于匈牙利首都布 达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957 年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于 他的博士论文和1960年发表的论文 A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有 兴趣，可以到这里的地址下载： http:/www.cs
3、.unc.edu/welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是 最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导 航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近 年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等 等。2卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波
4、器，这里会应用形象的描述方法来讲解， 而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5 条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只 要你理解了他的那5 条公式。在介绍他的 5 条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温 度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一 分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100% 的相信，可能会有上下偏差 几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是 这些偏差跟前后时间是
5、没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准 确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预 测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合 他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1 时刻的温度值，来 预测 k 时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k 时刻的温度预 测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度，同时该值的高斯噪声的偏差是5
6、度（5 是这样得到的： 如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的 不确定度是 4 度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到 了 k 时刻的温度值，假设是25 度，同时该值的偏差是4 度。由于我们用于估算k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和 25 度。究 竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们 可以用他们的 covariance （协方差）来判断。因为Kg2=52/(52+42) ，所以 Kg=0.78， 我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是： 23+0.78* (25-23)=24.56度。 可以看出，因为温度
7、计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出 的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到k 时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1 时刻，进行 新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在 进入 k+1 时刻之前，我们还要算出k 时刻那个最优值（ 24.56 度）的偏差。算 法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的 5 就是上面的 k 时刻你预测的那个23 度温度值的偏差，得出的2.35 就是进入 k+1 时刻以后 k 时刻估算出的最优温度 值的偏差（对应于上面的3）。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出
8、最优的温度 值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance 。上面的 Kg，就是 卡尔曼增益（ Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是 很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。3卡尔曼滤波器算法 （The Kalman Filter Algorithm）在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会 涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（ Random Variable ） ， 高斯或正态分配（Gaussian Distribution） 还有 State-space M
9、odel 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分 方程（ Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中， X(k) 是 k 时刻的系统状态， U(k) 是 k 时刻对系统的控制量。 A和 B 是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k) 是 k 时刻的测量值， H 是测 量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。 W(k)和 V(k) 分别表示过程和测
10、量 的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise) ，他们的 covariance 分别是 Q ，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。对于满足上面的条件 ( 线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声) ，卡尔 曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来 估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状 态是 k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ,. (1) 式(1)
11、 中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的 结果， U(k) 为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了， 可是，对应于 X(k|k-1) 的 covariance 还没更新。我们用P表示 covariance ： P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A +Q , (2) 式 (2) 中，P(k|k-1) 是 X(k|k-1)对应的 covariance ，P(k-1|k-1)是 X(k-1|k-1) 对应的 covariance，A表示 A的转置矩阵， Q是系统过程的 covariance 。式 子
12、1，2 就是卡尔曼滤波器5 个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合 预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k) 的最优化估算值 X(k|k) ： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k)*(Z(k)-H X(k|k-1) , (3) 其中 Kg为卡尔曼增益 (Kalman Gain) ： Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k- 1) H + R) , (4)到现在为止，我们已经得到了k 状态下最优的估算值X(k|k) 。但是为了要另卡 尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k 状态下
13、X(k|k) 的 covariance ： P(k|k)= （I-Kg(k) H）P(k|k- 1) , (5) 其中 I 为 1 的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入 k+1 状态时，P(k|k)就是式子 (2) 的 P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子 1，2，3，4 和 5 就是他的 5 个基本公式。 根据这 5 个公式，可以很容易的实现计算机的程序。下面，我会用程序举一个实际运行的例子。 4简单例子 （A Simple Example ）这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作 过程。所举的例子是
14、进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们 见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温 度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出： X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ,. (6) 式子（ 2）可以改成： P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q , (7) 因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1 。式子 3，4，5 可以改成 以下： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k)*(Z(k)-X(k|k-1) , (8) Kg(k)= P(k|k-1)
15、/ (P(k|k-1) + R) , (9) P(k|k)= （1-Kg(k) ）P(k|k- 1) , (10)现在我们模拟一组测量值作为输入。 假设房间的真实温度为25 度， 我模拟了 200 个测量值，这些测量值的平均值为25 度，但是加入了 标准偏差为几度的高斯白 噪声（在图中为蓝线） 。为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是 X(0|0) 和 P(0|0) 。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔 曼的工作， X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取 0，因为这样可能会令卡 尔曼完全相信你给定的X(0|0) 是系统最优的，从而使算法不能收敛。
16、我选了 X(0|0)=1 度，P(0|0)=10 。该系统的真实温度为25 度，图中用黑线表示 。图中 红线是卡尔曼滤波器输出的 最优化结果 （该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。 最佳线性滤波理论起源于 40 年代美国科学家 Wiener 和前苏联科学家 等人的研究工作， 后人统称为维纳滤波理论。 从理论上说， 维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克 服这一缺点， 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套 递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为 估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变 量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为： X(k) = F(k,k-1)X(k-1)+T(k,
