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1、2003 年线性代数考研试题年线性代数考研试题 数一数一 1. 从2R的基到基的过渡矩阵为 = =11,0121 = =21,1121 2132【详解详解】 根据定义，从2R的基到基的过渡矩阵为 = =11,0121 = =21,1121P=. 1 21, =2111 1011,121= .2132 2111 1011 = 2. 设向量组 I：r,21?可由向量组 II：s,21?线性表示，则 D (A) 当sr 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. 【详解详解】 用排除法： 如， 则 = = =10,01,0021121100+=， 但21,线性无关，
2、排除(A)；，则 = = =01,01,0012121,可由1线性表示，但1线性无关，排除(B)；， = = =10,01,012111可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 3. 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为nm矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 B (A) . (B) . (C
3、) . (D) . 【详解详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)； 但反过来， 若秩(A)=秩(B)， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解， 如， =0001A =1000B，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B). 4. 设矩阵， =322232223 A =100101010 PPAPB*1=，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵. *A【详解详解】 经计算可得 ， ， =522
4、252225 *A =1000011101PPAPB*1=. 322452007从而 ， =+522472009 2EB)3()9(522472009 )2(2= =+ EBE， 故 B+2E 的特征值为. 3, 9321= 当921=时，解0)9(=xAE，得线性无关的特征向量为 , 0111 =,1022 =所以属于特征值921=的所有特征向量为 ，(其中是不全为零的任意常数). + =+102011212211kkkk21,kk当33=时，解，得线性无关的特征向量为 0)3(=xAE， =1103所以属于特征值33=的所有特征向量为，(其中 =110333kk03k为任意常数). 5.
5、已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， :1l032=+cbyax， :2l032=+acybx. :3l032=+baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0=+cba 【详解详解】 ：必要性必要性 设三条直线交于一点，则线性方程组 321,lll=+=+=+,32,32,32baycxacybxcbyax(*) 有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵 =accbba A222 =bacacbcba A323232的秩均为 2，于是. 0=A 由于 )(6 323232222bcacabcbacbabacacbcba A+= = =, )()()(3222accbbacba+但根据题设 ，
6、故 0)()()(222+accbba. 0=+cba充分性：充分性：由0=+cba，则从必要性的证明可知，0=A，故秩. 3)(时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. 4. 若矩阵相似于对角阵 =60028022 aA，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使.1=APP【详解详解】 矩阵 A 的特征多项式为 16)2)(6( 600280222= = aAE =， )2()6(2+故 A 的特征值为. 2, 6321= 由于 A 相似于对角矩阵，故对应621=应有两个线性无关的特征向量，即 2)6(3=AEr，于是有 . 1)6(=AEr 由 ， =
7、0000001200048024 6aaAE知 a=0. 于是对应于621=的两个线性无关的特征向量可取为 ， =1001.0212 =当23=时， ， =000100012800048024 2AE解方程组得对应于 =+, 0, 02321 xxx23=的特征向量 . 0213 =令，则 P 可逆，并有 = 001220110 P.1=APP5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， :1l032=+cbyax， :2l032=+acybx. :3l032=+baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0=+cba 数三数三 1. 设 n 维向量；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 0,
8、), 0 , 0 ,(+=bxbxxxaxAXXxxxfT中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析分析】 特征值之和为 A 的主对角线上元素之和，特征值之积为 A 的行列式，由此可 求出 a,b 的值； 进一步求出 A 的特征值和特征向量， 并将相同特征值的特征向量正交化 （若 有必要） ，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解详解】 （1）二次型 f 的矩阵为 . 200200= bba A设 A 的特征值为).3 ,
9、2 , 1( =ii 由题设，有 1)2(2321=+=+a， .1224 2002002 321= =ba bba 解得 a=1,b= -2. (2) 由矩阵 A 的特征多项式 ) 3()2( 2020202012+= + = AE， 得 A 的特征值. 3, 2321= 对于, 221=解齐次线性方程组0)2(=xAE，得其基础解系 ， T) 1 , 0 , 2(1=.)0 , 1 , 0(2T=对于33=，解齐次线性方程组0)3(=xAE，得基础解系 .)2, 0 , 1 (3T=由于321,已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,单位化，由此得 T)51, 0 ,52(1
10、=，T)0 , 1 , 0(2=.)52, 0 ,51(3T= 令矩阵 =5205101051052321Q， 则 Q 为正交矩阵. 在正交变换 X=QY 下，有 = 300020002 AQQT， 且二次型的标准形为 .3222 32 22 1yyyf+= 数四数四 1. 设 A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知 AB=2A+B,B=,则 2020402021)( EA= 001010100. 【分析分析】 应先化简，从 AB=2A+B 中确定. 1)( EA【详解详解】 由 AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 ， EEABEA2)(2)(=， EEBEA2
11、)2)(=EEBEA=)2(21)(， 可见 =1)( EA)2(21EB =. 0010101002. 设矩阵.已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 C = 001010100 B(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【分析分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算， 秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E) 之和. 【详解详解】 因为矩阵 A 相似于 B，于是有矩阵 A-2E 与矩阵 B-2E 相似，矩阵 A-E 与矩 阵 B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而 秩(B-2E)=秩，秩(B-E)=秩， 3 201010102 =
12、 1 101000101 = 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). 3. 设有向量组（I） ：，和向量组（II） ：T)2 , 0 , 1 (1=T)3 , 1 , 1 (2=Ta)2, 1, 1 (3+=Ta) 3, 2 , 1 (1+=， 试问：当 a 为何值时，向量组（I）与（II）等价？当 a 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ Ta)6, 1 , 2(2+=.)4, 1 , 2(3Ta +=【分析分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价， 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量1是否可由321,线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（1321,）为阶梯形讨论，而 一 组 向 量321,是 否 可 由321,线 性 表 示 ， 则 可 结 合 起 来 对 矩 阵（321321,）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可. 【详解详解】 作初等行变换，有 ),(321321?= + 463232112110221111a
