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1、62 1 2 xf最优控制习题及参考答案习题 1 求通过x(0) =1，x(1) =2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = (x2 +1)dt t0解：由已知条件知：t0 = 0 ，t f = 1d由欧拉方程得：(2x) = 0 dtx= C1x = C1t + C2将x(0) = 1 ，x(1) = 2 代入，有：C2 = 1，C1 = 1得极值轨线：x* (t) =t+1习题 2 求性能指标：J = 1 (x2 +1)dt 0 在边界条件x(0) = 0 ，x(1) 是自由情况下的极值曲线。解：由上题得：x* (t) = C t + Cx* (t) 由x(0) = 0 得：C2
2、= 0 0 ?L 由?xt= t f= 2x(t f ) = 2C1 t =t = 0 t 0 1于是：x* (t) = 0【分析讨论】对于任意的x(0) = x0 ，x(1) 自由。63 2 0 1 0 ?= - 有：C = x ，C = 0 ，即：x* (t) = x其几何意义：x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。习题 3 已知系统的状态方程为：x1 (t) = x2 (t) ，x2 (t) = u(t)边界条件为：x1 (0) = x2 (0) = 1，x1 (3) = x2 (3) = 0 ，3 1 试求使性能指标J = 0u2 (t)dt 2 取极小值的最优控制u* (t) 以及
3、最优轨线x* (t) 。? x ? 解：由已知条件知：f = ?2 ?u ? Hamiton 函数：H = L + T fH = 1 u2 + x + u? = 0由协态方程：?12 12 1 2 2 ? = C 得：?1 1 ?2 = - C1t + C2 ?H 由控制方程： ?u= u + 2 = 0得：u = - 2 = C1t - C2 由状态方程：x2 = u = C1t - C2得：x (t) = 1 C t2 - C t + C 2 2 由状态方程：x1 = x21 2 3 得：x (t) = 1 C t3 -1 C t 2 + C t + C 1 6 1 2 2 3 4 64
4、1 ?= -= -?1 ?0 ? 将x(0) = ? ?，x(3) = ?0?代入，, ?1? ? 10 联立解得：C1 =由、式得：u* (t) = 10 t - 2 9 ，C2 = 2 ，C3 = C4 = 1 9x* (t) =5 t3 - t 2 + t +127 x* (t) = 5 t2 - 2t +12 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x= u ，x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1 J = 0解：H = x2e2t + u2e2t + u? x= u列方程：? = - 2xe2t?2e2t u + = 0(x2 + u2 )e2t dt由得，u代入得
5、，x1 e- 2t 2 1 e- 2t = - 2 x 1 e- 2t e- 2t = -+ 2 将，代入，并考虑到u = xx1 e- 2t (- 2xe2t ) + e- 2t (- 2e2t x)2整理可得：x+ 2x- x = 065 1 2 ) = u =2 2 ?s1s特征方程：s2 + 2s - 1 = 0s1 = - 1+2，s2 = - 1-2于是得：x* (t) = C es1t + C es2t* (t - 2e2t - 2e2t x* (t) = - 2e2t(C1s1es1t + C s es2t )由x(0) = 1 ，得：C1 + C2 = 1 由 (t f )
6、= (1) = 0 得：C1s1e + C2 s2e = 0 、联立，可得C1、C2求导代回原方程可得x* u*（略）习题 5 求使系统：x1 = x2 ，x2 = u由 初 始 状 态x1 (0) = x2 (0) =0出 发 ， 在t f= 1时 转 移 到 目 标 集1 x1 (1) + x2 (1) = 1，并使性能指标J = 1 u2 (t)dt2 0 为最小值的最优控制u* (t) 及相应的最优轨线x* (t) 。解：本题f (i)，L(i) 与习题 3 同，故H (i) 相同方程同通解同?1 = C1，2 = - C1t + C2? ?x = 1 C t3 -1 C t2 + C
7、 t + C有：?1 6 1 2 2 3 4 ?x = 1 C t 2 - C t + C?2 2?1 2 3 ?u = C1t - C266 f?0 ? x(0) = ? ? ?0?由，有：C3 = C4 = 0 由x1 (1) + x2 (1) = 1，有：1 C1 C+ 1 C - C = 16 1 2 22 1 2 2 C -3 C = 1 3 1 2 2 ?T由 (1) = + ?= 0 ，= x1 + x2 - 1 ?x ?x? 1 ? 有： (1) = ?= 0 ? (1) = (1) ?1?1 2 于是：C1 = - C1 + C22C1 = C2 3 6 、联立，得：C1 =
8、- 、C2 = - 7 7 于是：u* = -3 t + 67 7 x * = -1 t3 + 3 t 21 14 7 x * = -3 t 2 + 6 t 2 14 7 习题 6 已知一阶系统：x (t) =- x(t) +u(t) ，x(0) =3（）试确定最优控制u* (t) ， 使系统在t = 2 时转移到x(2) = 0 ，并使性能泛函2 J = (1+ u2 )dt = min0 67 f f?1 ?- tCC4 （） 如果使系统转移到x(t ) =0的 终端时间t自由， 问u* (t) 应如何确定？解：H = 1+ u2 + u - x?x= - x + u列方程：?= ?2u
9、+ = 0由协态方程得：= C et 1 t 由控制方程：u= -C1e 2 t f1 t 代入状态方程：x = - x -C1e 2 = 2 ，x(2) = 0? x(t) = C2e1 C et4 1 ?-1 C = 3?2 4 1?C e- 2 -1 C e2 = 0?2 4 112 解得：C1 = 4 ，e - 1 3e4 C2 = 4 e - 1 代入得：u* (t) = -x(t f ) = 2，t f自由6 ete4 - 1 ?-1 C = 3 ?2 4 1? C e- t f1 C et f = 0?2 1 ? ? H (t f ) = 0? ?解得：C1 =40 - 6= 0
10、.32568 f u* (t) = - 0.162et习题 7 设系统状态方程及初始条件为x(t) = u(t) ，x(0) = 1试确定最优控制u* (t) ，使性能指标1 t f2 J = t + 2 0u dt为极小，其中终端时间t f 未定，x(t f ) = 0 。解：H = 1 u2 + u2 由协态方程得：= 0= C1 由控制方程：u + = 0u = - C1 由状态方程：x = u =- C1? x(t) = - C1t + C2 由始端：x(0) = 1C2 = 1由末端：x(t f ) = 0- C1t f + 1 = 0 ?考虑到：H (t f ) = - t? t?
11、= - 1?f ?f 1 2 有：u + u = - 1 2 1 C 2 - C 2 = - 1 ? C 2 = 22 1 1 1 C1 = 2 当C1 =2 时，代入有：t f= 1 = 1 C12 69 1 f?6 当C1 = -2 时，代入有：t f= 1 = -1 ，不合题意，故有C = 2 C12 最优控制u* = -2 习题 8 设系统状态方程及初始条件为x1 (t) = x2 (t) ，x1 (0) = 2性能指标为x2 (t) = u(t) ，J = 1 t f u2 dtx2 (0) = 12 0 要求达到x(t f ) = 0 ，试求：（1）tf= 5 时的最优控制u* (
12、t) ；（ 2）t 自由时的最优控制u* (t) ；解：本题f (i )，L(i )，H (i ) 与前同，故有? ? 1 = C1? 2 = - C1t + C2?x = 1 C t3 -1 C t2 + C t + C ?1 1 ?2 2 3 4 ?x = 1 C t 2 - C t + C ?2 2?1 2 3 ?u = C1t -C2?2 ?0 ? C4 = 2?C3 = 1?125 25由x(0) = ? ?x(5) = ?0?，得：?C1-C2 + 5C3 + C4 = 0?1? ?6 2 ?25 C- 5C + C = 0 ?1 2 3? 270 6 2 2 联立得：C1 = 0
13、.432 ，C2 = 1.28 ，?u*= 0.432 t - 1.28t f 自由? ?C = 1 ?4? C3 = 2?1C t3 -1 C t 2 + C t+ C = 0?1 f ?2 2 f 3 f4 ? 1C t2 - Ct+ C = 0?2 1 f?2 f3 ?H (t f ) = 0 联立有：C 2t 2 - 2C t+ 2 = 0 ，无论C 为何值，t 均无实解。2 f 2 f 2 f习题 9 给定二阶系统x (t) = x (t) + 1 ，x (0) = -11 2 4 1 41 x2 (t) = u(t) ，1 x2 (0) = -4 控制约束为u(t) ，要求最优控制
14、u* (t) ，使系统在t = t2 f 并使时转移到x(t f ) = 0 ，其中t f 自由。t f J = u2 (t)dt = min0 解：H = u2 + x + 1 + u1 2 4 1 2 ?-1 1 ?2 2 2? 本题属最小能量问题，因此：u* (t) = ?-1 1?2 ? 10? = -? = C et + C由协态方程可得：?1 1 2 1 2 1 ?2 = 0 ?2 ? 2 = C1由 (t ) = = ? ? C = 1 ，C= e- 1 ?x(t f )?1?1 2? = et - 1 + 1 在t 0的范围内 1 ?1 1故：u* =- 1t 0,1?2 =
15、1若 需 计 算 最 优 轨 线 ， 只 需 把u* = - 1 代 入 状 态 方 程 ， 可 得 ：? x * (t) = 2e- t - 1 ?1 ?x * (t) = - 2e- t - t + 2 ?273 习题 11 设系统状态方程为x1 (t) = x2 (t) ，x1 (0) = x1074 1 ?1 0?0 0?0?2 2 1 2 性能指标为J = 12 0x2 (t) = u(t) ， (4 x2 + u2 )dtx2 (0) = x20试用调节器方法确定最优控制u* (t) 。?0 1? 解： 由已知条件得：A = ? ?0 0?0? ，B = ? ?， ?1?4 0? Q = ? ?0 0?，R = 1B AB = ?0 1?, 可控 最优解存在考虑到Q = ? 4 0?= ? 2?2 0 = DT D ，故 ? ?D = 2 0? D ? 2 0 ?= ? ?DA?0 2?闭环系统渐近稳定由
