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1、第 0 页共 13 页读书报告读王明新非线性椭圆型方程此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，Nehari 流形方法及其应用， p-Laplace 算子的特征值理论和p-Laplace 方程（组）的上下解方法及其应用。本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009 年发表的）。由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。此书的第一章内
2、容是介绍后面要用到的相关的预备知识。第一节，书上对于Banach 空间，引入了Frechet 导数和 G?ateaux 导数（以下简称为F 导数和 G导数）。定义（ F 导数）称f在点0x处是 F可微的，如果存在有界线性算子YXLA,，使得rAuxfuxf0)(00当0ru时. 算子A成为f在0x处的 F导数 . 定 义 （ G 导 数 ）设.,:0xYXf. 对 任 意 的,Xh当t适 当 小 时 都 有thx0，并且极限txfthxft000lim存在，则称f在0x处 G导，称其极限是f在0x处沿方向h的 G微分，记为hxfG0. 并且给出了两者之间的联系：.导导导连续GFG由定义我们可以
3、看出，F 导比 G导难求。利用这个关系，在求算子的F导数的时候，我们可以转化为求G导，然后只需证明求得的G导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的 G导就是 F 导，这样， 我们就把复杂的难于求的F导转化为易求的G导。而本书中后面多次提到了求F 导数。 第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合内容记忆起来方便。 第三节介绍了在拟线性方程的边值的非负非平凡解的存在性方面的一个第 1 页共 13 页应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。我以前读过
4、叶其孝编写的反应扩散方程中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：xBuxuuxcuDxbuDxaLuiniiijnjiij,0,11,这里的0Bu指的是 Dirichlet边值条件、 Neumann边值条件和Robin 边值条件。假设（ A）L是
5、一致椭圆的；（B）Cxcxbxaiij,. 由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在内改变符号；并且特征值的个数是可数个：,.,21n。还有几个重要的结论：1.假设0xc，1是特征值问题xuxbuxaxuuxcu, 0,的主特征值，并且还是实的和简单的，其中（）,0, 0xbxa或者（）. 0, 1xbxa如果0xc或者0xb，则01. 如果0xbxc，则. 012. 设Cq，k是一个常数。如果存在正函数，使得xxkuxq,0,
6、第 2 页共 13 页则.1kq进一步，如果上式不是恒等式，则.1kq其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：xBuxuuxquDxaDLuinjiijj,0,)(1,假设（A）L是一致椭圆的；（B）.,1CxbCxqCxaij由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构。相关的结论有：（1）特征值全是实数；（2）不同的特征值所对应的特征函数是正交的；（3）特征值的极小原理和极大- 极小原理；（4）特征值是无界的，即kklim；（5）特征函数系是2L中的一个完备正交系；（6）特征值的变化（特征值关于)(xq是单调增加的，Dirichlet边值问题的特征值关于区域是单调减少的
7、） ；（7）特征值连续依赖于系数xbxqxaij,；（8）若Cxq)(，k为常数，qm是问题xuxuuxqu, 0,的第m个特征值，则kqkqmm；（9）非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题：设Cc， 算子,)(1,xaDxaDMinjiijjxbDxaDNinjiijj)(1,都是区域上的一致椭圆算子，特征值分别记为1ii和1ii，系数Cbabaijij,. 定第 3 页共 13 页义 NvvxcMuvuL)(，则算子L的谱仅由特征值构成，并且L1ii1ii；（10）Poincare不等式：（与 Sobolev 空间的 Poincare 不等式对比记忆）（）记01是算子在上带有齐次Di
8、richlet边界条件的第一特征值，则,11 022 122HuDuu并且11是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。（）记02是算子在上带有齐次Neumann边界条件的第二个特征值，则, 0,1122 222uHuuuu并且21是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。补充： (Bessel不等式 ) 设 X 是一个内积空间，如果eS是 X 中的正交规范基，那么Xx,有22,xex. 研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多
9、次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法（利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法），此法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。上下解方法非常简单初等，结构又非常深刻。这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的反应扩散方程总结一下构造上下解的方法。（比较原理） 假设是n中的一个有界区域，Lx)(， 函数xq在内
10、非负连续，常数 1 ,0(，非负函数.0()(Csg.又设函数1 21,Cuu并且在内是正的， 在第 4 页共 13 页分布意义下满足222111)(0)(ugxquxuugxquxu，在边界附件满足0suplim1 11 2 0),(uu xd. 如果（ 1）当10时，函数ssg关于2121,sup,infuuuus单调不减；（2）当1时，xq是非负非平凡的连续函数，ssg关于2121,sup,infuuuus严格单增，则21uu在内恒成立。注：由上面的比较原理，得边值问题xxuxugxquxu, 0)(有唯一的正解。下面具体来总结一下方程式的上下解方法。先对拟线性方程，利用不动点定理证明：
11、如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大解和最小解的存在性。设是n中的一个有界区域，边界2C，算子cDbDaLiniiijnjiij 11,在上是一致椭圆算子， 系数属于C.边界算子,ubauBu其中1,Cba都是非负函数，并且0)()(xbxa.考虑下面的边值问题xBuxDuuxfcuuDbuDaLuiniiijnjiij, 11,定义（上下解）函数21,CCuu分别称为上述问题的上下解，如果xuBxuDuxfuL,第 5 页共 13 页xuBxuDuxfuL,若边界条件是uBu，那么上下解的
12、光滑性条件可以减弱为2,CCuu. 定理：假设在上0xa，函数uu,为上述边值问题的上下解，并且满足uu。记ucmin，ucmax。又设,uxf关于x，uuu,以及n满足Nagumo条件，即存在连续函数RR:,使得nuuuxuuxf,1,2 . 那么上述边值问题存在解u，并且满足,NDuuuu其中 N 是依赖于Luu,的系数的 Nagumo 常数 . 此定理的意义在于判断椭圆型方程解的存在性。同样， 对于椭圆型方程组也有类似的结果，这与抛物型方程的上下解方法是不一样的，抛物型方程的上下解方法在判断解的存在性的同时，还给出了解的唯一性。要注意椭圆型和抛物型方程的比较。上下解的方法虽然简单初等，但
13、是困难的是合理构造出上下解。结合叶其孝编写的反应扩散方程 ，现总结构造上下解的方法：常数上下解；常微分方程法；转化为偏微分方程法；利用第一特征值和特征函数等等。课后习题中的重要结论：研究边值问题xwxwxfkwwxqw, 0,2假定Cfq,且在上0f，k是一个常数，则（1）如 果上 述问 题有一个正的 严格 下解w， 则上 述问题有唯 一的 正解w， 并且.,1wwkq（2）如果kq1，则上述问题有唯一的正解. 书的第四章内容主要介绍了非线性泛函分析中的拓扑度理论和分支（也称为分歧， 或分叉）理论，因为此理论也是研究椭圆型方程和方程组的边值问题的解的存在性的重要工具。第 6 页共 13 页在书
14、中，主要是介绍那些在椭圆型方程的应用中经常出现的有关拓扑度和分支理论的主要结果，可以看成是拓扑度和分支理论的速成。先介绍了有限维空间的拓扑度（Brower 度） ：定义：（1）如果0y是的一个正则值，定义在0y处的拓扑度为njjxJyd10sgn,，其中J为J的行列式，jx满足0yxj. （2）如果0y是的一个临界值，存在正则值y，满足yy。定义在0y处的拓扑度为ydyy,),deg(),deg(0. 基本性质：（1）同伦不变性；（2）可加性；（3）切除性；（4）乘积性质；（5）连续映射的度；（6）边界性质；（7）复合映射的Leray 乘积；再介绍 Banach 空间上的拓扑度（Leray-S
15、chauder 度）定义：设X 是一个 Banach 空间，X是有界开集，XK :是紧的，KI，0y.K是K的 有 限 维 逼 近 ，K的 像 集 属 于 有 限 维 空 间NNy0，KI，则),deg(),deg(00yNy性质与有限维空间的Brower 性质类似。特别地（Leray-Schauder 定理）) 1()0 ,deg(),(00xBxIindex，其中是0xKIT的大于 1 的所有特征值的重数之和. 第 7 页共 13 页分支理论：考虑方程其中1, pCfp，, xf把点RX0,0的某个邻域映入一个Banach 空间 Y，并且满足0, 00f. 定义：点0, 0称为一个分支点，
16、如果0, 0的任意邻域都包含方程0, xf的一个解,x并且.0x定理：2, pCfp，0, 00f.又假设（1）0, 00f；（2）0, 0xNf是一维的，由0x生成；（3）01,0xRfY的余维数是1；（4）10010,0, 0YxfYfx. 那么点0,0是一个分支点，并且0, xf的解的集合在点0,0的邻域内由两条只在0, 0相交的2pC类曲线21,构成。下面介绍一下椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系: 定义：记),(21muuuu，),(21mffff.假设u是边值问题的解，其中mLLdiagL,1，mBBdiagB,1. iL是散度型的二阶一致椭圆算子，系数有界，iBu为三种边界算子. 如果上述问题在u的线性化特征值问题xBvxvvufDLvu, 0,)(的所有特征值的实部都大于零，则称u是线性稳定的，否则，就称为不是线性稳定的。,0fx( ),(1)0,Luf uxBux第 8 页共 13 页如果0是线性化特征值问题的特征值，则称u是退化的，否则
