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1、21 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面问题提出 1.点、直线、平面是构成空间图形的 三个基本元素,在长方体中,顶点, 棱所在的直线,以及侧面、底面之间存 在哪些位置关系? ABCDABCD2.空间中,点、直线、平面之间有哪些 基本位置关系?我们将从理论进行分析 和探究.知识探究(一): 平面的概念、画法及表示思考1:生活中有许多物体通常呈平 面形 ,你能列举一些实例吗? 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 的图形是什么?将课桌面、平静的水面 、田径场地面向四周无限伸展得到的图 形是什么? 思考4:我们不可能把一条直线或一个平 面全部画在纸上,在作图时通常用一条 线段表示直
2、线,你认为用一个什么图形 表示平面比较合适? 思考3:直线是否有长短、粗细之分?平 面是否有大小、厚薄之别?思考5:我们常常用平行四边形表示平 面,当平面水平放置时,平行四边形 的锐角通常画成45,且横边长等于其 邻边长的2倍.下列平行四边形表示的 平面的大致位置如何?思考6:当两个平面相交时,你认为下列 哪个图形的立体感强?你能指出其画法 要点吗?(1)画出交线;(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面,我们可以 用适当的字母作为平面的名称,如平面 ABCD平面ABCD 或平面AC 或平面BD思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 那么“点P在直线l上”,“点A在平面 内”,用集合符
3、号可怎样表示?“点P在直线l外”,“点A在平面外” 用集合符号可怎样表示? 思考8:如果直线l上的所有点都在平面内 ,就说直线l在平面内,或者说平面经 过直线l,否则,就说直线l在平面外. 那 么“直线l在平面内”,“直线l在平面 外”, 用集合符号可怎样表示?知识探究(二):平面的基本性质1 思考1:如果直线l与平面有一个公共点 P,那么直线l是否在平面内? 思考2:如图,设直线l与平面有一个公 共点A,点B为直线l上另一个点,当点B 逐渐与平面靠近时,直线l上其余各点 与平面的位置关系如何变化?AAB思考3:如图,当点A、B落在平面内时 ,直线l上其余各点与平面的位置关系 如何?由此可得什
4、么结论?公理1 如果一条直线上的两点在一个平 面内,那么这条直线在此平面内.思考4:公理1如何用符号语言表述? 它有什么理论作用?AB 知识探究(三):平面的基本性质2 思考1:空间中,经过两点有且只有一条 直线,即两点确定一条直线,那么两点 能否确定一个平面?经过三点、四点可 以作多少个平面? 思考2:照相机,测量仪等器材的支架为 何要做成三脚架?思考3:经过任意三点都能确定一个平面 吗?由此可得什么结论?公理2 过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面. ABC思考4:公理2可简述为“不共线的三点确 定一个平面”, 它有什么理论作用? 知识探究(四):平面的基本性质3 思考1:如图,把三
5、角板的一个角立在 课桌面上,三角板所在的平面与桌面 所在的平面是否只相交于一点B?为什 么?BB思考2:如果两条不重合 的直线有公共点,则其 公共点只有一个.如果两个不重合的平面 有公共点,其公共点有多少个?这些公 共点的位置关系如何?思考3:根据上述分析可得什么结论? P公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线. 思考5:你能说一说公理3有哪些理论作 用吗? 确定两平面相交的依据,判断多点共 线的依据. 思考4:若两个平面有一条公共直线, 则称这两个平面相交,这条公共直线 叫做这两个平面的交线.平面与平面 相交于直线l,可记作 ,那么 公理3用符号语
6、言可怎样表述?理论迁移 例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)直线AC1在平面A1B1C1D1内; (2)设正方体上、下底面中心分别为 O 、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为 OO1; (3)由点A,O,C可以确定一个平面;( 4)平面AB1C1与平面AC1D重合.BB1D1A1DACC1OO1(1)直线AC1在平面A1B1C1D1内; (2)设正方体上、下底面中心分别为 O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交 线为OO1; (3)由点A,O,C可以确定一个平面; (4)平面AB1C1与平面AC1D重合.例2 如图,用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.AB a l (1)a b P l (2)作业:P43练习:1,2, 3(做书上), 4.P51习题2.1A组:1,2.