《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 第二节等差数列及其前 n 项和 知识能否忆起 一、等差数列的有关概念 1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 an1and(nN*，d 为常数) 2等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 Aab2，其中 A 叫做 a，b 的等差中项 二、等差数列的有关公式 1通项公式：ana1(n1)d. 2前 n 项和公式：Snna1nn12da1ann2. 三、等差数列的性质 1若 m，n，p，qN*，且 mnpq，an为等差数列，则 amanapaq. 2在等差数列an中，ak，a2k
2、，a3k，a4k，仍为等差数列，公差为 kd. 3若an为等差数列，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为 n2d. 4等差数列的增减性：d0 时为递增数列，且当 a10 时前 n 项和 Sn有最大值 5等差数列an的首项是 a1，公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 SnAn2Bn，则 Ad2，Ba1d 2，当 d0 时它表示二次函数，数列an的前 n 项和 SnAn2Bn 是a n成等差数列的充要条件 小题能否全取 1(2012 福建高考)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 B 法一：设等差数列an的公差为
3、d，由题意得 2a14d10，a13d7.Go the distance 解得 a11，d2.故 d2. 法二：在等差数列an中，a1a52a310，a35. 又 a47，公差 d752. 2(教材习题改编)在等差数列an中，a2a632，则 sin2a43( ) A.3 2B.12 C3 2D12 解析：选 D a2a632，2a432. sin2a43sin3 23cos31 2. 3 (2012 辽宁高考)在等差数列an中， 已知 a4a816， 则该数列前 11 项和 S11( ) A58 B88 C143 D176 解析：选 B S1111a1a11211a4a8288. 4在数列a
4、n中，若 a11，an1an2(n1)，则该数列的通项 an_. 解析：由 an1an2 知an为等差数列其公差为 2. 故 an1(n1)22n1. 答案：2n1 5(2012 北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，若 a112，S2a3，则 a2_，Sn_. 解析：设an的公差为 d， 由 S2a3知，a1a2a3，即 2a1da12d， 又 a112，所以 d1 2，故 a2a1d1， Snna112n(n1)d1 2n1 2(n2n)1 2 14n21 4n. 答案：1 1 4n21 4n 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知 a1、d、n、an、Sn中
5、的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方Go the distance 程思想 (2)Snd2n2a1d2nAn2Bnd2A. (3)利用二次函数的图象确定 Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值 2设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题， 要善于设元， 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 等差数列的判断与证明 典题导入 例 1 在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且 nN*)
6、(1)求 a2，a3的值； (2)设 bnan32n(nN*)，证明：bn是等差数列 自主解答 (1)a13，an2an12n3(n2，且 nN*)，a22a12231，a32a223313. (2)证明：对于任意 nN*， bn1bnan13 2n1an3 2n1 2n1(an12an)31 2n1(2n13)31， 数列bn是首项为a1323320，公差为 1 的等差数列 由题悟法 1证明an为等差数列的方法： (1)用定义证明：anan1d(d 为常数，n2)an为等差数列； (2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列； (3)通项法：an为 n 的一次函数an为等差数列；
7、(4)前 n 项和法：SnAn2Bn 或 Snna1an2. Go the distance 2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子 an1and 和 anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则 n1 时，a0无定义 以题试法 1已知数列an的前 n 项和 Sn是 n 的二次函数，且 a12，a22，S36. (1)求 Sn； (2)证明：数列an是等差数列 解：(1)设 SnAn2BnC(A0)， 则 2ABC，04A2BC，69A3BC，解得 A2，B4，C0.故 Sn2n24n. (2)证明：当 n1 时，a1S12. 当 n2 时，anSnSn12n24n2(n1)2
8、4(n1)4n6. an4n6(nN*)an1an4， 数列an是等差数列. 等差数列的基本运算 典题导入 例 2 (2012 重庆高考)已知an为等差数列，且 a1a38，a2a412. (1)求an的通项公式； (2)记an的前 n 项和为 Sn，若 a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数 k 的值 自主解答 (1)设数列an的公差为 d，由题意知 2a12d8，2a14d12，解得 a12，d2.所以 ana1(n1)d22(n1)2n. (2)由(1)可得 Snna1an2n22n2n(n1) 因为 a1，ak，Sk2成等比数列，所以 a2ka1Sk2. 从而(2k)22(k2)(k3
9、)，即 k25k60， 解得 k6 或 k1(舍去)，因此 k6. 由题悟法 1 等差数列的通项公式ana1(n1)d 及前 n 项和公式 Snna1an2na1nn12d，Go the distance 共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想 2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 以题试法 2(1)在等差数列中，已知 a610，S55，则 S8_. (2)(2012 江西联考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若S412S3 91，则公差为_ 解析：(
10、1)a610，S55， a15d10，5a110d5.解方程组得 a15，d3.则 S88a128d8(5)28344. (2)依题意得 S44a1432d4a16d，S33a1322d3a13d，于是有4a16d123a13d 91，由此解得 d6，即公差为 6. 答案：(1)44 (2)6 等差数列的性质 典题导入 例3 (1)等差数列an中， 若a1a4a739， a3a6a927， 则前9项和S9等于( ) A66 B99 C144 D297 (2)(2012 天津模拟)设等差数列an的前 n 项和 Sn，若 S48，S820，则 a11a12a13a14( ) A18 B17 C16
11、 D15 自主解答 (1)由等差数列的性质及 a1a4a739， 可得 3a439， 所以 a413.同理，由 a3a6a927，可得 a69. 所以 S99a1a929a4a6299. (2)设an的公差为 d，则 a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解Go the distance 得 d14，a11a12a13a14S440d18. 答案 (1)B (2)A 由题悟法 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找
12、项的序号之间的关系 以题试法 3(1)(2012 江西高考)设数列an，bn都是等差数列，若 a1b17，a3b321，则a5b5_. (2)(2012 海淀期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前 n 项和数值最大时，n 的值为( ) A6 B7 C8 D9 解析：(1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且 c17，c321，则 c52c3c1221735. (2)an1an3，数列an是以 19 为首项，3 为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设前 k 项和最大，则有 ak0，ak10，即 223k0，223k10，解得1
13、93k223.kN*，k7.故满足条件的 n 的值为 7. 答案：(1)35 (2)B 1(2011 江西高考)an为等差数列，公差 d2，Sn为其前 n 项和若 S10S11，则a1( ) A18 B20 C22 D24 解析：选 B 由 S10S11，得 a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20. 2(2012 广州调研)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a58，S36，则 S10S7的值是( ) Go the distance A24 B48 C60 D72 解析： 选B 设等差数列an的公差为d， 由题意可得 a5a14d8，S33a13d6，解得 a10，d2，则 S10S7a8a9a103a124d48. 3(2013 东北三校联考)等差数列an中，a5a64，则 log2(2a1 2a2 2a10)( ) A10
