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1、麻省理工 Guido Kuersteiner 经济系 时间序列 14.384 第四讲笔记第四讲笔记: 预测与预测与Wold分解分解 我们考察一个弱平稳时间序列tx，并且着眼于如何基于过去的观测值tx得出1tx+预测值。通常考虑预测值 1+tx使均方预测误差值最小。 这里是所有tx,1x可测函数的集合，因此，若存在且为常值函数。根据映射原理有 其中为条件期望，定义为 其中为定义在与 同一样本空间的任意随机变量。 由此可得，对所有的，成立，因为根据条件期望的定义有 。根据映射原理，这说明条件期望是一个 映射。这个结论对于实际应用并不是很有用，因为条件期望通常很难求得，但对于最忧线性预测的严格考察就
2、很有用了。我们以 作1,tx1x的线性闭空间，则最优线性预测满足 而且，根据映射原理我们又可得到 从而有 当 马上又可得 只有一种例外的情形，即当tx是高斯过程，此时 特别的，我们写成最优线性预测式 注意这时，所以1tx+可以通过先前预测误差 的映射得到。我们通过递归定义1+tx，令 - 更严格地说，是tx,1x生成的-域，比如，是样本空间的最小-域，因此，tx,1x是可测函数。 有 其中 根据映射原理，当时，等式左边就变成 由于，并作变换 可得 这里。现在，和式的最后一项根据（4.1）式 等于，在（4.2）式中对其进行替换，得出 同样地，并且。注意等式隐含假设是已知的或已估出的。这些方程表明
3、所有系数都是可递归 求得的。 向前向前 h 步的预测步的预测 我们现在希望通过tx,1x预测htx+，则线性预测式是 我们想运用这些一般结论来预测htx+，假设tx是这样一个过程，其形式为 其中并且 。定义， 并且令 注意。我们像以前一样通过递归求出，比如 由，我们现在可以算出系数如下 现在，因为并且，有 及。因此 由并且。又由并且我们可从(4.3)式得 并且。同样， 并且注意这里，如下 由这些关系可以对,及 进行递归估计。对于较大的 t 和，可逆的可以通过 运用滞后多项式的参数而不是最优映射参数近似算出。这些对tx预测我们现在可以从以下式子得到 并且 故，所以又有 于是，对于马上可得 这样，
4、向前 h 步的预测就可通过迭代得出 由此，对于模型而言 4.1 Wold 分解分解 我们看到零均值平稳随机过程tx能被分解成可预测分量和一个带白噪声序列的过 程。令并且定义一步均方预测误差为 同样，令，于是是的一个闭线性子空间。如果 ，我们称过程tx是确定性的。对确定性过程而言误差方差为 当。接下来我们证明 Wold 分解定理。 定理定理 4.1(Wold 分解分解) 如果tx是一个零均值且的弱平稳过程， 如同在(4.4)中定义的一样。 则 且 证明： 令 根据映射原理，我们有且。于是 同样地， 根据的线性性和tx的平稳性有。 再一次根据的线性性和tx的弱平稳性我们有与 t 无关。这就表明是一
5、个。 同样令，则有一个无穷可数正交基。tx在空间上的映射由以下给出 为了进行说明，我们令，从而根据映射算子的定义，对于所有和某些 有 对于此，我们首先注意到根据映射原理。然后根据Bessel不等式对于所有的k 有 这就证明了上述不等式。接下来我们注意到 因为在上是正交的。这样，我们就证明了 并且 于是有 因为并且，但同样地由有。因为并且于是。重复上述论证并由得出，因此。于是 由我们有 最后，若则从而对于所有s有。但是根据(4.6)这表明或，从而，这说明 这意味着是确定性的，比如预测误差方差为零。 一个过程若则被称为完全不确定的。此时，Wold分解则为以下形式 其中和的定义同前。这一类过程包括以前介绍过的模型。 (4.5)式的向前h步的预测由以下给出 因为当 时。同样可以给出其预测误差方差为以下形式 当时，预测误差的方差趋近于的方差。
