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1、反函数在高考中常见题型分析高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、 求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近 年来高考试题中出现的题型,供复习时参考 . 1、求原函数的定义域例 1(92 高考上海卷 )函数)( xf反函数是1( )10f xxx，求)( xf定义域解：原出数定义域是反函数值域，1( )10f xxx的值域是1,，故函数)( xf定义域是1,2、求反函数定义域例 2、函数 f(x+1)=log(x+2)+x2+2x+3 的定义域 1,7 ，求反函数定义域解：f(x+1)的值域 7,68 ，f(x+1)与 f(x)的值域
2、相同，反函数定义域是7,68注：从另角度看， f(x)=log(x+1)+x2+2 的值域是其反函数的定义域，但是此时 它的定义域是2,9 ，不要误认为是1,7 ,从而出现 f(x)的值域不是7,68 错误. 3、求函数的值例 3、(2004 广西卷 )已知函数)(xfy是奇函数，当0x时，13)(xxf，设)(xf的反函数是)(xgy，则)8(g. 解： 易求当0x时， ( )1 3xf x。 解方程813x和831x， 前者 x=-2,后者无解 . 则)8(g-2. 例 4 、 (2004 湖 南 卷 ) 设)(1xf是 函 数) 1(l o g)(2xxf的 反 函 数 ， 若8)(1)
3、(1 11bfaf，则)(baf的值为 （）A1 B2 C3 D3log2解 : 1( )fa即21log (1)ax，1( )fb即22log (1)ax. 求 得121ax，221bx。111( )1( )fafb1211xx22ab=8，a+b=3,于是)(baf=3log2.选（D）. 注;涉及1( )fa 的值时 ,往往从它的意义入手 ,通过解方程( )f xa,得 x=1( )fa ,较为简便 . 4、求反函数例 5（2004 甘肃卷）函数 y=2()xexR 的反函数为（）()2ln(0)A yx x( )ln(2 )(0)B yx x1()ln(0)2C yx x1( )ln(
4、2 )(0)2D yx x解：y=2()xexR ，取常用对数， 得 2x=lny,x=12lny.其中20,xe即 y0.因此，反函数是1ln(0)2yx x.选（B）. 例 6、 （2001 全国卷） y=21+1(x0) 的反函数（）A y=log211x(1,2)x, B y=-log211x(1,2)xC y=log211x(1 ,2xD y=log211x1,2x解：解方程 y=21+1，得 x=log211y, 即 y=log211x.10,021,12,( )xxyfx 的定义域(1,2).故选(A) 注：求反函数解析式要注意其定义域 5、讨论反函数图像例 7、 （94 全国卷
5、）2( )11( 10).f xxx则1( )yfx 的图像是（）解：研究反函 数图像 ,往往通过观 察原 函 数 的 图像实现.先研究 f(x)解析式。211( 10).yxx得22(1)1.yx它是一段圆弧，圆心（ 0，1） ，反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B) 例 8、 (2004 福建卷 )已知 函数 y=log2x 的反 函 数 是1( )yfx ,则 函 数1(1)yfx 的图像是 ( ) 解:根据1(1)yfx 性质特征解 .1( )yfx =2x,1(1)yfx =12x, 1(1)yfx 图像过点 (1,1),且其值域为 (0,).可见,答案选 (C). 6、
6、求参数问题例 9(2001 上海卷 )( )2xf xb的反函数是1( )f x,1( )f x的图像过 Q(5,2).求 b. 解:f(x)的图像必过 (2,5),代入,得 b=1. 例 10、 （2004江苏卷）设 k1，f(x)=k(x-1)(x R) . 在平面直角坐标系xOy 中， 函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A 点， 它的反函数 y=f-1(x)的图像与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图像交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则 k 等于 ( ) (A)3 (B)3 2(C)43(D)6 5 解：f(x)=k(x-1) 图像过点 A（1，0） ，则 B（0
7、，1） ，四边形 OAPB 的面积可以 分成三角形 OPA 和 OPB，且等于三角形 OPA 面积二倍 .求出点 P (3,3).从而求出k=32.故选(B). 注：原函数图像上的点 (a,b),在反函数图像上对应点是 (b,a).这是一个经常用到的 重要结论 . 7、求互为反函数图像交点例 11、 （2002 全国卷）求 f(x)=2(1)1xxx图像与反函数图像交点坐标. 解:先求反函数 f(x)1=(0)2xxx,解方程2xx21xx,得 x=0 或 1. 从而交点坐标是 (0,0)(1,1). 8、研究函数与其反函数奇偶性例 13、 （1992 全国卷） 2xxeey的反函数1( )y
8、fx （）A、是奇函数，在（ 0，+）上是减函数B、是偶函数，在（ 0，+）上是减函数C、是奇函数，在（ 0，+）上是增函数D、是偶函数，在（ 0，+）上是增函数解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（ 0，+）上是增函数，反函数1( )yfx 也增函数 .故选（ C）. 注:互为反函数的单调性相同 , 偶函数无反函数 . 总而言之 ,反函数内容几乎每年都考,试题的难度又不大 ,试题涉及到反函数的 方方面面，但最常考的是求反函数定义域、值域、函数图像等， 除求反函数题外， 大多数题不用求反函数，只需将问题转化与原函数有关的问题去解决。( )24(2)yf xxx历年高考反函数试题汇编文科求反
9、函数步骤： （四步法）求原函数值域反表示互换 yx, 下结论（注意：标出定义域即原函数值域）1.（2009 全国卷文）函数y=x(x0)的反函数是（）（A）2yx（x0）（B）2yx（x0）（B）2yx（x0）（D）2yx（x0）答案B 2.（2009 陕西卷文）函数( )24(4)f xxx的反函数为( )（A）121( )4(0)2fxxx B.121( )4(2)2fxxx（C）121( )2(0)2fxxx (D)学科121( )2(2)2fxxx答案 D 解析令原式则故121( )2(2)2fxxx故选 D. 3.（2009 湖北卷文）函数)21,(2121xRxxxy且的反函数是(
10、 ) A.)21,(2121xRxxxy且B.)21,(2121xRxxxy且C.) 1,()1(21xRxxxy且D.) 1,()1(21xRxxxy且答案D4（2009 上海卷文）函数 f(x)=x3+1 的反函数f-1(x)=_. 答案31x解析由 yx3+1，得 x31y，将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案。5.(2009年 广 东 卷 文 ) 若 函 数( )yfx是 函 数1xyaaa（0，且）的 反 函 数 ， 且( 2 )1f，则( )fx( ) Ax2logBx21Cx21logD22x22 2424,222yyyxx即答案A 解析函数1xyaaa（0，且）的反函数是(
11、 )logaf xx,又(2)1f,即log 21a, 所以 ,2a,故2( )logf xx,选 A. 6.（2009 四川卷文）函数)(21Rxyx的反函数是A. )0(log12xxyB. )1)(1(log2xxyC. )0(log12xxyD. ) 1)(1(log2xxy答案C 解析由yxyxyx 221log1log12，又因原函数的值域是0y，其反函数是)0(log12xxy7.（2009 全国卷文） 已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx 2lgx，则)1()1(gf（A） 0 （B）1 （ C）2 （D）4 8.（2009 重庆卷文）记3( )log (1)f
12、xx的反函数为1( )yfx，则方程1( )8fx的解x答案2 解法 1 由3( )log (1)yf xx，得13yx，即1( )31fxx，于是由318x，解得2x解法 2 因为1( )8fx，所以3(8)log (8 1)2xf9. （2006 年安徽卷） 函数1()xyexR的反函数是（）A1ln(0)yx xB1ln(0)yx xC1ln(0)yx xD1ln(0)yx x答案D 解析由1xye得：x+1=lny ，即 x=-1+lny,所以1ln(0)yx x为所求，故选D。10.（ 2009广 东 卷 理 ） 若函数( )yf x是函数(0,1)xyaaa且的反函数，其图像经过点
13、(, )a a，则( )f x（）A. 2log xB. 12logxC. 12xD. 2x答案B 解析xxfal o g)(，代入(, )a a，解得21a，所以( )f x12logx，选 B. 11.(2009 湖北卷理 ) 设 a 为非零实数， 函数11(,)1axyxRxaxa且的反函数是( ) A、11(,)1axyxRxaxa且B、11(,)1axyxRxaxa且C、1(,1)(1)xyxRxax且D、1(,1)(1)xyxRxax且答案D 解析由原函数是11(,)1axyxRxaxa且，从中解得1(,1)(1)yxyRyay且即原函数的反函数是1(,1)(1)yxyRyay且，
14、故选择 D 2001（6）函数)0( 1cosxxy的反函数是（A）)20)(1arccos(xxy（B）)20)(1arccos(xxy（C）)20)(1arccos(xxy（D）)20)(1arccos(xxy20044函数) 1( 11xxy的反函数是（）Ay=x22x+2(x1) By=x22x+2(x1) Cy=x22x(x1) Dy=x22x (x1) 20052（）函数321(0)yxx的反函数是（A）3(1) (1)yxx（B）3(1) (1)yxx（C）3(1) (0)yxx（ D）3(1) (0)yxx20061（2）已知函数xey的图像与函数)(xfy的图像关于直线xy对
15、称，则（A）xexfx()2(2R）（B）2ln)2( xfxln（0x）（C）xexfx(2)2(R）（D）xxfln)2(2ln（0x）20062（6）函数)0(1lnxxy的反函数为（A）)(1Rxeyx（ B）)(1Rxeyx（C）) 1(1xeyx（ D）) 1(1xeyx20081（6若函数(1)yf x的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则( )fx（）A21xeB2xeC21xeD22xe20102（2）. 函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是（A）211(0)xyex（B）211(0)xyex（C）211(R)xyex（D）211(R)xyex2011（2. 函数20yx x的反函数为(A)24xyxR(B) 2 04xyx(C)24yxxR(D) 240yxx2013（5）函数1= log 10fxxx的反函数1=fx（A）1021xx（B）1021xx（C）21xxR（D）210xx
