《Lebesgue外侧度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Lebesgue外侧度（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、54 第 3 章测度论实变函数论的核心内容是勒贝格（Lebesgue）积分 . 本章介绍勒贝格测度理论是为建立勒贝格积分作好必要的准备. 在nR中建立 Lebesgue积分理论， 不可避免地要对nR中的一般点集E给出类似于R中区间长度的“适当的度量”，这种度量就是以后所说的测度. 对于R中的区间长度的度量，归纳我们日常生活经验，不难发现我们已经在潜移默化地使用了以下约定俗成的公理，即长度公理：长度公理 ：对于实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每个E，都对应一个实数mE，使得1 （非负性）0mE；2 （有限可加性）如果12,nEEE两两不相交，那么1212()nnm EEEmEmEmE；
2、3 （正则性）0,11m. 但是，仅仅根据凭经验得来的这三条长度公理，实际上只给出了区间,a b的长度，能够量出“长度” 的点集是不多的，能做到的也只是有限个线段之并那样的点集. 例如0,1中“有理数集合”是可数个点之并，就没有长度可言. 同样0,1中“无理数集合”的长度是多少也无法确定 . 这样， 我们应该修改长度公理，扩大集合族的范围， 使更多的集合具有新意义的长度，也就是我们所说的测度. 看来，非负性和正则性的要求非常自然，是不能修改的，那么只有修改第二条的有限可加性 . 我们很自然地想到把有限可加性改为“无限可加性”，然而无限可加性的提法是不能任意的，这是因为如果简单地提无限可加性会出
3、现矛盾，例如，一点a 所成的集合的长度是(,)0ma aaa，如果任意无限可加性可以成立，那么0,1中全体有理数和全体无理数所成集合的长度都是0，于是区间0,1的长度也是0，这是矛盾的. 法国数学家Lebesgue 用可数可加性考察如下的“测度”：勒贝格测度公理：对于实数直线上的一部分集合族，使得每个E，都对应一个实数mE，满足1 （非负性）0mE；55 2 （可数可加性）如果12,nEEE两两不相交，那么1212()nnm EEEmEmEmE；3 （正则性）,m a bba. 根据这一公理，0,1中有理数集是可数个点的集合，每点的测度是0，所以它的勒贝格测度是 0；而0,1中无理数集不可数就
4、不会是0 了，应该是1. 那么，满足勒贝格测度公理的在集合族上定义的集函数mE是否存在？由哪些集合所构成？是否每个集合都有测度呢？这些问题都是本章要解决的. 3.1 外测度众所周知，在2R中，求圆A的面积可以用包含它的外切多边形面积的下确界来定义. 更一般地，我们可以用一些长方形（在2R也称为区间）去分割圆A，然而长方形的面积之和近似代替圆A的面积的这种想法也可以求(1)nRn中一般的立体的体积的近似值. 这一想法正是我们定义外测度的出发点，启发我们给出如下外测度的定义：定义 3.1.1设E是nR 中的点集，1nnI是nR 中的一列开区间，1nnEI， 则1|nnI确定一个非负的数u （ u
5、可以等于）. 记*1inf:|nnm EuuI，1nnEI，nI是开区间，称*m E为E的 Lebesgue外测度 . 应该注意到，由于没有假定E是有界集，所以*m E有可能是. 定理 3.1.1（1）*0m E，当E为空集时，*0m E（非负性）（ 2）若AB，则*m Am B（单调性）56 （ 3）*11iiiimAm A（次可数可加性）证明（1）对任何覆盖E的开区间列nI，都有1|0nnI，因而 0 是1:|nnuuI，1nnEI，nI是开区间的一个下界，因而01inf:|nnuuI，1nnEI，nI是开区间，即*0m E. 当E时，则对任意的0，设111211(,) :()() ,1,
6、2, 2222nn inkiiIxxxxkn，则| 2iiI，而1iiI，11| 2ii iiI，所以*m，由0是任意的，所以*0m. （ 2）设AB，则任一覆盖了B的开区间列nI也覆盖了A，即1:|nnuuI，1nnBI，nI是开区间1:|nnuuI，1nnAI，nI是开区间. 所以1inf:|n nuuI，1n nAI，nI是开区间1inf:|n nuuI，1n nBI，nI是开区间. 因此*m Am B. （3） 对任意的0， 由下确界含义， 对每个 n 都有一开区间列,1n mmI， 使,1nn mmAI，而*, 1| 2n mnn mIm A（本来应该是“”号，这里用“”号，是因为*
7、 nm A可能是）. 这样,111nn mnnmAI，且57 ,111|n mn mn mnmII*12nn nm A*112nn nnm A*1nnm A因此，*,111|nn mnn mnnmAIm A，由0是任意的，于是*11nnnnmAm A. 例 1 设A是可数点集，则*0m A. 证 明因 为A是nR中 的 可 数 点 集 ， 所 以 设12,iAaaa， 其 中12(,)iiiinaaaa(1 , 2 ,i，对任意的0，设111211(,) :()() ,1,2, 2222nn iiiinijijijiiIxxxaxajn，则| 2iiI，且iiaI，1i iAI，11| 2ii
8、 iiI，所以*1|i im AI，由0是任意的，所以*0m A. 例 2 设I是区间，则*|m II. 证明（1） 设I为闭区间， 对任意的0， 存在开区间I， 使得II， 且| |II，由外测度定义，*| |m III，由0是任意的，有*|m II. 下证*|m II. 对任意的0， 存在一列开区间iI， 使1iiII， 且*1|iiIm I. 58 由有限覆盖定理，在iI中存在有限多个开区间12,niiiIII，使得1knikII. 因为11()kknniikkIIIII，所以1|knikIII，因此*111|kknniiikkiIIIIIm I. 由0是任意的，有*|Im I，于是*|
9、m II. （2） 设I为任意区间， 对任意的0， 作闭区间1I及2I， 使12III， 且1| | |II，2| |II，这样21| |III，因此*1122| |IIm Im Im III. 由0是任意的，*|Im II，于是*|m II. 3.2 可测集外测度的优点是任何集合都有外测度，但外测度只有次可数可加性. 事实上，在nR中的确存在互不相交的一列集合iE，使得*11iiiimEm E. 因此，若把外测度当作测度，则不能期待对任何集合都有测度，如果把外测度*m的定义域加以限制，即设法在nR 中找出某一集合类，在上*m能够满足测度公理，这是可以做到的 . 如何从nR 中挑出集合类呢？中
10、的集合应该对可数并、交、差运算封闭，应包括nR及nR中的所有有限开区间，而且对中一列互不相交的集合iE成立 . 59 *11iiiimEm E（ 3.2.1）若E，则对任何开区间nIR，应成立*()()m ImIEmIC E（ 3.2.2）对于（ 3.2.2）式，我们有下面的结果：引理 1 设nER ，则（3.2.2）式对任何开区间I都成立的充分必要条件是对nR中的任何点集T都有*()()m TmETmCET（3.2.3）证明充分性 . 若对任何点集nTR ， （3.2.3） 式成立， 则因nIR，取TI时， （3.2.3）式也成立，此即对任何开区间nIR， （3.2.2）式成立 . 必要性
11、. 设nER ，T为nR 中任意点集，由外测度定义，对任意的0，存在一列开区间nI，使得1iiTI，且*1|iiIm T. 由于11()iiiiTEIEIE，11()iiiiTC EIC EIC E，所以由外测度的单调性和次可数可加性，有*1()()iimTEmIE，*1()()iimTC EmIC E，从而*()()mTEmTC E*11()()iiiimIEmIC E*1()()iiimIEmIC E60 *1iim I（证必要性，对任何开区间nIR， （3.2.2）式成立）1|iiI*m T. 由0是任意的，有*()()mTEmTCEm T. 另一方面，由于()()()nTTRTECET
12、ETC E，有*()()m TmTETC E*()()mTEmTC E综上*()()m TmTEmTCE. 由前面描述的如果一个集合E是可测的，它应满足（3.2.2）式，而由引理1， （3.2.2）与（3.2.3）等价，下面我们用（3.2.3）式给出可测集的定义. 定义 3.2.1 设E为nR 中的点集，如果对任意点集nTR ，都有*()()m TmTEmTCE，则称E为 Lebesgue 可测集，此时称*m E为E的 Lebesgue 测度，简记为mE. 这个定义是由卡拉泰屋独立（Caratheodory，1873-1950 ，希腊数学家）给出的，（3.2.3）式称为 Caratheodor
13、y 条件 . Lebesgue 可测集简称L可测集，L可测集全体记为，若E，则称E是L可测的 . Caratheodory 条件有一个等价的叙述方式，即：定理 3.2.1集合E可测的充要条件是对任意AE，BC E，总有*()mABm Am B. 证明必要性，设E可测，则E满足 Caratheodory 条件，取 TAB ，则 TEA ，TCEB ，由 Caratheodory 条件，有*()()()mABm TmTEmTCEm Am B充分性，设对任意的AE，BCE，总有*()mABm Am B，则对任意的T，61 令 ATE ， BTCE ，则AE，BC E，且()()TTETCEAB，所以
14、*()()()m TmABm Am BmTEmTC E. 由 Caratheodory 条件知E可测 . 定理 3.2.2E可测的充分必要条件是C E可测 . 证明设E可测，则对任意的T，有*()()m TmTEmTCE*()()mTC EmTC C E所以CE可测 . 设C E可测，则对任意的T，有*()()m TmTCEmTCCE*()()mTC EmTE所以E可测 . 定理 3.2.3设1E，2E都可测，则12EE也可测，并且当12EE时，对于任意的T总有*1212()()()mTEEmTEmTE（3.2.4）证明先证12EE可测，即要证对任何T都有*1212()()m TmTEEmTC
15、 EE（3.2.5）因为1E可测，所以对任何T有* 11()()m TmTEmTC E（3.2.6）又因为2E可测，取1TTC E，则有*11212()()()mTCEmTC EEmTC EC E，这样由（ 3.2.6）式有*11212()()()m TmTEmTC EEmTC EC E*11212() ()() mTEmTC EEmTCEE62 因为1E可测，并且11TEE，121()TCEECE，所以由定理3.2.1，有*112()()mTEmTC EE*112()()mTETC EE* 112() ) mTEC EE*1112( ()() ) mTEC EEE*12()nmTREE*12()mTEE因此，有*1212()()m TmTEEmTCEE，于是12()EE可测 . 其 次 证 明 （ 3.2.4 ） 成 立 . 当12EE时 ， 因 为1E可 测 ，11TEE，221()TEEC E，由定理3.2.1，有* 1212()()()mTEEmTETE*12()()mTEmTE推论 1 设(1, 2,)iEin都可则，则1niiE也可测，并且当ijEE()ij时，对任何集合T总有*11()()nniiiimTEmTE. 定理 3.2.4设1E，2E都可测，则12
